2.3.3. Модель экономического роста и развития Солоу

Модель экономического роста и развития Р.Солоу представляет собой производственную функцию, с помощью которой можно исследовать влияние роста населения на экономическое развитие стран.

Описание модели. Нобелевский лауреат Роберт Солоу из Мессачусетсского технологического института разработал модель, показывающую взаимосвязь сбережений, накопления капитала и экономического роста [22]. Роберт Мертон Солоу (Robert Merton Solow, род. 1924 г.) американский экономист, специалист в области теории экономического роста, автор макроэкономической модели, учитывающей вклад технологического параметра в экономический рост, которая известна в экономической теории как «модель Солоу». Неоклассическая модель экономического роста Роберта Солоу основывается на производственной функции Кобба-Дугласа. Основное отличие модели Солоу от производственной функции заключается в том, что автор вводит технический прогресс как фактор экономического роста наравне с такими факторами производства как труд и капитал. Модель описывает влияние указанных трех факторов на экономический рост и описывается мультипликативной производственной функцией, составляющую основу модели, и рядом условий и ограничений, обобщенный вид которой представлен формулой

,

где - Y — выпуск продукции, A — нейтральный технический прогресс, K — объем используемого капитала, L — затраты живого труда, α₁,α₂ — параметры производственной функции, причем α₁ + α₂ = 1. Под техническим прогрессом в данной модели подразумевается вся совокупность качественных изменений труда и капитала во времени.

Р. Солоу впервые описал эту модель в 1956 году и до сих пор она остается главной теоретической базой для экономического анализа. Исходным пунктом анализа является обычная неокласическая производственная функция, зависящая от капитала и труда.

Q = TF(K,L) (2.1)

В этой функции все переменные выражены в виде показателей на душу населения. Данная модель построена на предположении о том, что население и рабочая сила идентичны, так что выпуск на душу населения равен выпуску на одного работающего. Обозначим выпуск на одного работающего, Q/L, через q, а количество капитала на единицу труда, К/L, как k. Теперь производственную функцию из уравнения (2.1) можно переписать в виде:

q = T f(k) (2.2)

Уравнение (2) показывает, что выпуск на душу населения является возрастающей функцией отношения "капитал — труд". Такой вид производственной функции, когда все показатели выражены в расчете на душу населения, показан на рис. 2.7.

Рисунок 2.7. Производственная функция в расчете на душу населения

На рисунке по вертикальной оси отложен выпуск на душу населения (q), а по горизонтальной оси — количество капитала на одного работающего (k). Как показано на рисунке, большему значению k соответствует большее значение q, однако q увеличивается во все меньшей степени (угол наклона функции q = T f(k) равен предельной производительности капитала (тот факт, что угол наклона на рис.2.7 изменяется, объясняется наличием падающей предельной производительности капитала).

Рассмотрим упрощенный случай закрытой экономики, которая закрыта для торговли с окружающим миром, что было сделано и в оригинальной версии Солоу. Таким образом, отечественные инвестиции (I) равны национальным сбережениям (S):

1=S (2.3)

Изменение основных производственных фондов равны чистым инвестициям за вычетом амортизации. Считаем, что для основных производственных фондов объема К амортизация составляет постоянную долю К, равную dK. В этом случае изменение общего объема производственных фондов равно инвестициям минус амортизация:

 K = I - dK (2.4)

Считаем, что сбережения составляют фиксированную долю общего объема национального (совокупного) выпуска, т.е.:

 K = sQ - dQ (2.5)

Если мы разделим обе части этого выражения на суммарное значение рабочей силы, то получим:

 K/L = sq - dk (2.6)

Предположим, что население растет с постоянным темпом n, который определяется биологическими и другими факторами, лежащими вне модели, а также что темп роста населения равен темпу роста рабочей силы, тогда L/L=n. И начальный уровень развития технического прогресса примем равным нулю.

Теперь, поскольку k = К/L, темп роста k равен:

    L/L =   n (2.7)

Тогда, К=( + пК, и разделив обе части уравнения на L, получим:

K/L =   nk

Подставив это выражение для K/L в уравнение (7), получим основное уравнение накопления капитала:

k = sq - (n + d)k (2.8)

Это ключевое уравнение показывает, что рост капитала на одного работающего (к) равен сбережениям на душу населения sq минус (n + d)/k.

А теперь рассмотрим полученное выражение более внимательно. Темпы роста суммарного числа рабочей силы равны n. Определенная сумма сбережений на душу населения должна быть использована для обеспечения каждого из вновь вступающих в состав рабочей силы капиталом k, т.е. эта сумма равна nk. В то же время определенная сумма сбережений на душу населения должна быть использована для замены выбывшего капитала; она равна dk. Таким образом, среднедушевые сбережения в размере (n+d)k. должны быть использованы только для поддержания отношения "капитал — труд" на постоянном уровне k. Использование сбережений в объеме, большем, чем (п + d)/k, приводит к увеличению отношения "капитал — труд" (т.е. Q > 0).

Сбережения, направляемые на оснащение рабочих мест, называются сбережениями, идущими на расширение капитала (здесь под словом «расширение» подразумевается увеличение числа работающих). Сбережения, используемые для увеличения отношения "капитал — выпуск", называются сбережениями, идущими на рост фондовооруженности (рост фондовооруженности означает увеличение капитала на одного работающего). Таким об­разом, основное уравнение накопления капитала (8) констатирует, что:

Сбережения, идущие на рост фонлооооруженности = Среднедушевые сбережения - Сбережения, идущие на расширение капитала [22].

Теперь рассмотрим концепцию устойчивого (стационарного) состоя­ния, или положения долгосрочного равновесия. В устойчивом состоянии объем капитала на одного работающего достигает своего равновесного значения и больше не меняется, постоянно оставаясь на этом уровне. В результате этого объем выпуска на одного работающего также находится в устойчивом состоянии ( т. к. на данный момент мы не принимаем технологические изменения). Таким образом, в устойчивом состоянии как k, так и q постоянно находятся на одном и том же уровне.

Для достижения устойчивого состояния необходимо, чтобы выполнялось точное равенство среднедушевых сбережений и сбережений, идущих на расширение капитала, так, чтобы  = 0. Формально это можно записать в виде:

sq = (n + d)k (2.9)

Устойчивое состояние означает, что q и k являются постоянными величинами, но из этого не следует, что темп роста равен нулю. В действительности устойчивое состояние сопровождается ростом выпуска с поло­жительным темпом п. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что рабочая сила увеличивается (как обычно) с темпом п. Отсюда, поскольку отношение «капитал-труд» постоянно, получим   L/L = п.

Таким образом, объем производственных фондов также возрастает с темпом п. Поскольку как L и К растут с темпом п, то и выпуск также растет с темпом п (то же самое можно доказать и другим способом, отталкиваясь от того факта, что среднедушевой выпуск Q/L постоянен и тогда Q растет с тем же темпом, что и Q/Q = L/L = п).

Графическое представление модели. Для построения модели (рис.2.8), сначала отобразим производственную функцию, а затем построим новую кривую, которая показывает объем сбережений на душу населения. Поскольку сбережения являются постоянной долей s выпуска (0 < s < 1), эта новая кривая имеет тот же вид, что и производственная функция, но ее значение по вертикальной оси составляют долю s от соответствующего значения производственной функции. Поскольку s < 1, то новая кривая лежит ниже производственной функции. Мы можем также провести линию (n + d)k – это прямая, проходящая через начало координат под углом (n+d).

В устойчивом состоянии, прямая (n + d)k и кривая sq должны пересекаться, так как sq = (n + d)k. Точка пересечения этих кривых на графике — это точка А. В том случае, когда отношение «капитал — труд» равно k_A, а выпуск на душу населения равен q_A, сберегается ровно столько, сколько нужно для того, чтобы происходило расширение капитала, т.е. sq_A = (n + d)k_A. В этом случае размер среднедушевых сбережений достаточен для того, чтобы оснастить новые рабочие места и заменить выбывший капитал, не вызвав изменений в общем отношении «капитал-труд».

Рисунок 2.8. Устойчивое состояние равновесия в экономике

Слева от точки А кривая sq расположена выше, чем кривая (п + d)k . Это означает, что сбережений больше, чем требуется для расширения ка­тала. Следовательно, слева от точки А фондовооруженность растет. Это означает, что производственные фонды на одного работающего растут, k > 0. Таким образом, слева от точки А будет иметь место тенденция к росту k, что показано стрелками на оси X. Справа от точки А происходит обратное. В этом случае сбережений недостаточно для расширения капитала. Справа от точки А мы имеем sq = (n + d)k . Таким образом - k < 0. Поэтому справа от точки А будет иметь место тенденция к понижению, как показано стрелками на горизонтальной оси.

Затем рассмотрим, что произойдет с экономикой, стартующей из точки, далекой от устойчивого состояния. Предположим, что страна находится на ранних ступенях экономического развития с очень низким отношением «капитал-труд», равным например k_A , как показано на рис. 2.9.

Рисунок 2.9. Экономическое развитие в гипотетической стране в течение определенного периода

Первоначальный объем выпуска на душу населения также весьма низок, он составляет q_A. Из-за малого количества производственных фондов необходимость направлять сбережения на расширение капитала невелика, т.е. (n+d)k_А мало. Поэтому объем среднедушевых национальных сбережений, который равен sq_A превышает потребности расширения капитала и фондовооруженность растет. Растет и выпуск q на одного работающего; экономика движется вдоль графика производственной функции вправо от А. При этом А приближается к k_B. По мере роста фондовооруженности объем капитала, необходимого для расширения, т.е. для оснащения новых рабочих мест и замены выбывшего капитала, увеличивается и, в конце концов, достигает точки, когда все сбережения идут только на поддержание k постоянным. В зтой точке экономика достигает устойчивого состояния.

Каков темп роста экономики в течение того периода, когда экономика движется в сторону устойчивого состояния? Необходимо отметить, что, когда экономика находится в фазе роста фондовооруженности, как q , так и k увеличиваются во времени, т.е. Q/L и K/L. приближаются к их значениям в устойчивом состоянии. Если Q/L растет, то Q растет быстрее, чем L. Таким образом, Q/Q > L/L. Это означает, что в течение периода роста фондовооруженности темпы роста выпуска выше, чем в устойчивом состоянии. Или, проще говоря, мы (при прочих равных условиях) можем ожидать, что страны, бедные капиталом, будут расти быстрее, чем богатые капиталом страны. И по мере роста фондовооруженности (при приближении k к k_B)темп роста должен снижаться.

Можно легко проверить, что, когда k превышает k_B , количество капитала на одного работающего снижается до уровня, соответствующего устойчивому состоянию. Одних только национальных сбережений в этом случае недостаточно для того, чтобы поддерживать отношение "капитал - труд" на постоянном уровне. Заметьте, что если в богатых капита­лом странах отношение "капитал — труд" снижается, то темп роста выпуска будет ниже п.

Таким образом, можно утверждать, что, если экономика не находится в устойчивом состоянии, независимо от размера капитала на одного работа­ющего начинают действовать силы, которые приводят ее к долгосрочному устойчивому равновесию. Эта черта модели Солоу чрезвычайно важна, ведь таким образом доказано не только то, что устойчивое состояние явля­ется точкой, где q и k остаются неизменными, но и то, что в экономике существуют естественные тенденции, приводящие ее в устойчивое состоя­ние. Динамические системы, в которых переменные обладают свойством автоматически возвращаться к состоянию устойчивого равновесия, называются стабильными системами. Следовательно, модель роста Солоу опи­сывает стабильный динамический процесс роста.

Влияние увеличения темпов роста населения. Другим фактором, определяющим темп экономического роста и объем среднедушевого дохода, является темп роста населения (который в рамках нашего исследования равен темпу роста рабочей силы). Когда экономика находится в устойчивом состоянии, рост населения оказывает существенное влияние двоякого рода.

Во-первых, более высокий темп роста населения способствует увели­чению темпа экономического роста при устойчивом состоянии экономики, поскольку при долгосрочном равновесии все агрегированные переменные (Q, К и L) увеличиваются с темпом, равным темпу роста населения. Во-вторых, темп роста населения определяет количество сбережений, которое должно быть направлено на расширение капитала. Поскольку количество рабочих постоянно увеличивается, определенная сумма сбережений должна быть направлена только на то, чтобы оснастить новые рабочие места тем же количеством капитала, которое имеют рабочие уже занятые в производстве. Это количество сбережений, направляемых на расширение капитала, равно пk. В тех случаях, когда темп роста населения увеличивается, на обеспечение новых рабочих необходимым капиталом приходится направлять большее количество сбережений, что ведет к снижению уровня дохода на душу населения в устойчивом состоянии. Иными словами, более высокий темп роста населения при прочих равных условиях приводит к снижению дохода на душу населения в устойчивом состоянии.

Для иллюстрации этого положения воспользоваться графиком на рис.2.10.

Рисунок 2.10. Экономика при двух разных темпах роста населения

На рис. 2.10 показано состояние экономического равновесия при двух разных темпах роста населения, п и п' > п. Единственная разница между этими двумя случаями состоит в том, что линия расширения капитала, (п + d)/k, имеет больший угол наклона в случае более высокого темпа роста населения. Очевидно, что линия, имеющая больший угол наклона соответствует устойчивому равновесию с меньшим уровнем душевого дохода.

Рассмотрим теперь экономические последствия замедления роста населения, что показано на рис. 2.11. Такая ситуация наблюдалась например, в развитых странах на протяжении последних десятилетий. Падение темпов роста населения сдвигает прямую (п + d)k вниз и вправо, и одновременно сокращаются потребности расширения капитала в первоначальном устойчивом состоянии. Таким образом, от точки k₀ начинает расти фондовооруженность при k > 0. Экономика, следовательно начинает двигаться вдоль графика производственной функции, как показано стрелками, до тех пор, пока не будет достигнуто новое устойчивое состояние. В этом состоянии темп экономического роста будет ниже, в то время как уровень дохода на душу населения будет выше.

Рисунок 2.11. Замедление темпа роста населения

Динамика темпа роста в переходном процессе имеет следующие особенности. Замедление роста населения немедленно снижает агрегировании темп роста экономики, но одновременно повышает темп роста дохода на душу населения, т.е. при замедлении роста населения Q/Q падает, тогда как q/q растет. В устойчивом состоянии, конечно же, Q/Q перманентно ниже (и равно п'), в то время как q/q равно нулю.