Теорема двойственности

Эта теорема устанавливает значительно более тесную связь между двойственными задачами ЛП. Эта теорема и ее многочисленные приложения позволили существенно продвинуть общую теорию экстремальных задач. Следствие теоремы, так называемая теорема существования, также имеет обширные применения в приложениях при исследовании задач.

Теорема двойственности. Каковы бы ни были исходные данные в задачах 1 и 1* имеет место один из следующих взаимно исключающих случаев:

1. В задачах 1 и 1* имеются оптимальные векторы х и у и .

2. В задаче 1 существуют допустимые векторы , но линейная функция на множестве этих векторов не ограничена сверху, т.е. , тогда в задаче 1* нет допустимых векторов.

3. В задаче 1* существуют допустимые векторы , но функция не ограничена снизу на множестве этих векторов, т.е. , тогда в задаче 1 нет допустимых векторов.

4. В задачах 1 и 1* нет допустимых векторов, то есть

Следствие. Теорема существования.

Для того, чтобы в двойственных задачах 1 и 1* существовали оптимальные векторы х и у, т.е. имел место случай 1 теоремы двойственности, достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. в задаче 1 существует оптимальный вектор х

2. в задаче 1* существует оптимальный вектор у

3. в задаче 1 существует допустимый вектор х и функция ограничена сверху.

4. в задаче 1* существует допустимый вектор у и функция ограничена снизу.

5. в задачах 1 и 1* существуют допустимые векторы х и у.

Доказательство: нужно доказать, что при выполнении каждого из условий, исключаются случаи 2, 3, 4 теоремы двойственности, а это означает справедливость случая 1.

Экономическая интерпретация двойственных задач

Пример. С внедрением новой технологии на некотором предприятии появилась возможность использовать три вида отходов производства, получаемых в количестве 70, 30, 15 единиц в сутки, для производства двух видов изделий, пользующихся большим спросом. Известно, что для производства одного изделия первого вида требуется 4, 3, 0 единиц отходов 1, 2, 3-го видов соответственно; для производства одного изделия второго вида требуется 3, 4, 3 единиц отходов 1, 2, 3-го видов. Ожидаемая прибыль от реализации продукции I и II-го видов 12 и 15 у.е. соответственно. Требуется составить план производства продукции I и II-го видов , обеспечивающий наибольшую прибыль, т.е. требуется решить следующую задачу линейного программирования.

Задача I. Найти , удовлетворяющие условиям:

Это же предприятие получило возможность продавать отходы производства, для чего ему необходимо определить их цену. Пусть - цена единицы отходов 1,2,3 - го видов. Естественно, что покупатель стремится к тому, чтобы суммарная цена всех отходов была наименьшей, а предприятию выгодно продавать их лишь в том случае, если выручка от продажи не меньше, чем прибыль от реализации готовых изделий, т.е. математическая модель задачи выглядит следующим образом:

Задача II. Найти , удовлетворяющие условиям:

Задачи I и II являются парой двойственных задач.