Теория линейного программирования (лп) Двойственные задачи линейного программирования со смешанными ограничениями

Для задач ЛП характерно то, что

• Целевая функция  (показатель эффективности) линейно зависит от элементов решения х₁,х₂, …х_n

• Ограничения, налагаемые на элементы решения, имеют вид линейных равенств или неравенств относительно х₁,х₂, …х_n.

В качестве основной обычно рассматривается задача ЛП в следующей форме.

Пусть заданы два множества I={1,2…m} и J={1,2…n}, а также их разбиение на попарно непересекающиеся подмножества, т.е.

I= I₁U I₂, причем I₁  I₂ = 

J= J₁UJ₂, J₁J₂ = 

Заданы вещественные числа а_ij, iI, jJ

b_i , iI,

с_j , jJ.

ЗАДАЧА 1. Максимизировать линейную функцию

(1),

на множестве векторов Х=( х₁,х₂, …х_n) (2),

удовлетворяющих условиям:

х_{j }0 для jJ₂ (3),

2 (4).

Определение.

Вектор (2), удовлетворяющий условиям (3) и (4) называется допустимым для задачи 1. Допустимый вектор (2), доставляющий максимум функции (1) называется оптимальным.

Говорят, что задача 1 является задачей ЛП со смешанными ограниче-ниями. Наряду с этой задачей, которая именуется ПРЯМОЙ, рассматри-вается так называемая ДВОЙСТВЕННАЯ к ней задача - задача 1*.

ЗАДАЧА 1*. Минимизировать линейную функцию

(5)

на множестве векторов Y=(y₁,y₂,…..y_n) (6),

удовлетворяющих условиям:

1 y_{j } 0 для iI₂ (7),

2 (8)

Вектор (6), удовлетворяющий условиям (7) и (8) называется допустимым в задаче 1*. Допустимый вектор (6), доставляющий минимум функции (5), называется оптимальным в этой задаче.

Двойственная задача составляется по следующему правилу:

1. В задаче 1 требуется максимизировать целевую функцию. В задаче 1* требуется минимизировать целевую функцию.

2. В задаче 1 имеется n-переменных и m- ограничений типа (4). В задаче 1* имеется m –переменных и n-ограничений типа (8). Это значит, что каждой переменной в задаче 1 соответствует ограничение в задаче 1* и каждому ограничению в задаче 1 соответствует переменная в задаче 1*.

3. Коэффициенты с_j линейной функции (1) в задаче 1 являются свободными членами ограничений (8) задачи 1*, свободные члены bi ограничений (4) в задаче 1 являются коэффициентами линейной функции (5) задачи 1*.

4. Коэффициенты при неизвестных а_ij в задачах 1 и 1* одни и те же, но матрицы из этих коэффициентов транспонированы по отношению друг к другу.

5. В задаче 1 все неравенства типа  , а в задаче 1* все неравенства типа .

6. Если на переменную задачи 1 налагается условие неотрицательности, то соответствующее ограничение в двойственной задаче является неравенством, а если условия неотрицательности на переменную нет, то соответствующее ограничение в задаче 1* является уравнением. И наоборот.

Определение задачи 1 как ПРЯМОЙ, а задачи 1* как ДВОЙСТВЕННОЙ, условно. Обе задачи взаимодвойственны.

Изучение двойственных задач оправдано тем, что в практике различных исследований иногда легче решать ДВОЙСТВЕННУЮ задачу, чем ПРЯМУЮ. Решив двойственную задачу, можно дать ответ – имеет ли оптимальное решение прямая задача.

Пример. Записать двойственную задачу к следующей задаче линейного программирования.

ЗАДАЧА 1. Найти удовлетворяющие условиям:

Решение. Заметим, что т.е все переменные связаны условием неотрицательности и все ограничения выполняются как неравенства. Двойственная задача имеет вид:

ЗАДАЧА 1*. Найти удовлетворяющие условиям: