2.6. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:
,
где
- математическое ожидание и
- средне квадратическое отклонение –
параметры нормального распределения.
Нормальное распределение еще называют распределением Гаусса.
Примеры нормально распределенных случайных величин:
1) размеры механически обрабатываемых деталей;
2) ошибки всевозможных приборов;
3) производительность труда;
4) урожайность с/х культуры с 1га.
График плотности вероятности для нормального распределения представляет собой колокол-образную кривую (рис. 12); при этом параметр “a” соответствует точке максимума, через которую проходит ось симметрии, а параметр “ ” – расстоянию от этой оси до точки перегиба.
Рис. 12
Вероятность
того, что случайная величина X,
распределенная по нормальному закону,
примет значение, принадлежащее интервалу
,
вычисляется по формуле:
,
где (17)
-
функция Лапласа, значения которой
находятся по специальным таблицам в
приложениях к учебникам.
Замечание
1. Особый
интерес представляет частный случай:
c
какой вероятностью отклонение значений
случайной величины X
от математического ожидания по абсолютной
величине не превосходит заданной
величины
:
.
(18)
Замечание 2. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Такое событие происходит почти наверняка (правило “трех сигм”):
.
(19)
Пример
16. Длина X
изготавливаемой автоматом детали
представляет собой случайную величину,
распределенную по нормальному закону
с параметрами
см,
см. Найти вероятность брака, если
допустимые размеры детали должны быть
см.
Решение.
Требуется найти
- вероятность брака. Сначала находим
вероятность изготовления качественной
детали, используя формулу (18):
Тогда
искомая вероятность равна:
Ответ: 0,1336.
Пример 17. Математическое ожидание дневной выручки торговой точки, нормально распределенной случайной величины X, равно 5 у.е. Найти вероятность того, что хотя бы в половине из четырех наугад выбранных дней случайная величина примет значение, не меньшее 6 у.е.
Решение.
По условию задачи
,
Сначала
находи вероятность
того, что в один из дней случайная
величина X
примет значение, не меньшее 6 у.е. по
формуле (17):
Тогда
вероятность события A
– “хотя бы в половине из четырех наугад
выбранных дней случайная величина
примет значение, не меньшее 6 у.е.” будет
находиться с помощью формулы Бернулли
для
,
,
:
.
Находим:
Получаем:
Ответ: 0,1229.
Контрольное задание 3
По
заданной функции распределения
найти функцию плотности
,
построить графики
и
,
найти
.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
Определите,
при каком значении параметра c
заданная функция
является функцией плотности случайной
величины; Найти функцию распределения
,
построить графики
и
,
найти
.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
Определить неизвестный параметр c плотности распределения , найти функцию распределения , построить графики и , найти .
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
