2.3. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей числовой оси, вычисляются, соответственно, по формулам:

, (13)

. (14)

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат интервалу , то формулы принимают вид:

,

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

.

Замечание. Следует заметить, что важнейшая характеристика положения – математическое ожидание – существует не для всех случайных величин. Можно составить примеры таких случайных величин, для которых математического ожидания не существует, так как соответствующая сумма или интеграл расходятся.

Пример 9. По заданной функции распределения найти функцию плотности , построить графики и , найти

.

Решение. Функцию плотности находим по определению :

Строим графики функций (рис.5) и (рис.6).

Рис. 5

Рис. 6

Пользуясь формулой , находим математическое ожидание случайной величины X:

=

Указанный интеграл вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:

.

В нашем случае:

Пользуясь формулой , находим дисперсию случайной величины X:

Тогда среднее квадратическое отклонение равно:

По формуле (8) вычисляем:

Пример 10. По заданной плотности распределения найти функцию распределения , построить ее график и вычислить вероятность .

Решение. По формуле (11) находим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

График функции изображен на рис. 7:

Рис. 7

Вычисляем вероятность:

Пример 11. При каком значении параметра c функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины X на всей числовой оси?

Решение. Воспользуемся условием нормировки (12):

Вычислим несобственный интеграл:

Получаем:

, откуда

Ответ:

2.4. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной на интервале , если ее плотность вероятности равна константе на этом интервале и нулю вне его:

Примеры равномерно распределенных случайных величин:

1. время ожидания транспорта (автобуса, электрички) пассажиром;

2. ошибки при округлении чисел при расчетах.

Пример 12. Определить функцию распределения и числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины.

Решение. По формуле (11) находим:

Получим:

Учитывая, что , числовые характеристики вычисляются через определенные интегралы по формулам и , соответственно:

Таким образом, получили следующие формулы для вычисления числовых характеристик равномерно распределенной случайной величины:

(15)

Графики функции распределения (рис.8) и функции плотности (рис.9) имеют вид:

Рис. 8

Рис. 9

Пример 13. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения равен 25 мин. Найти вероятность того, что пассажир, случайно подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус более 15 мин. Найти математическое ожидание времени ожидания пассажиром автобуса.

Решение. Рассмотрим случайную величину X – время, отсчитанное от момента, в который очередной автобус только что отошел от остановки до момента, в который к остановке подошел пассажир. Случайная величина X равномерно распределена на интервале . Тогда время T ожидания пассажиром очередного автобуса будет . Требуется вычислить вероятность .

Составим функцию распределения случайной величины X:

Тогда, пользуясь формулой (8), находим:

Вычисляем математическое ожидание:

мин.

Ответ: мин.