2. Непрерывные случайные величины

Случайная величина X называется непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Примеры непрерывных случайных величин:

1. размер (прочность, вес) детали массового производства;

2. время безотказной работы устройства (компьютера, холодильника и т.д.) до момента отказа;

3. ошибка измерительного прибора;

4. возраст или рост человека.

2.1. Функция распределения случайной величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция , которая для каждого значения аргумента x численно равна вероятности того, что при испытании случайная величина X примет значение, меньше чем x, т.е.:

(7)

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1.

2. - неубывающая функция, т.е. при .

3. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.:

. (8)

Замечание. Для непрерывной случайной величины вероятности , , , совпадают.

4. Используя функцию распределения, можно показать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет указанное строго определенное значение , равна нулю, т.е. .

5. Если , то при и при (иначе: , ).

Графики функции распределения

1. Функция распределения непрерывной случайной величины всюду непрерывна, причем производная этой функции не имеет разрывов на всей числовой оси, за исключением конечного числа точек.

Если случайная величина X непрерывна, причем ее значения , то ее график имеет вид (рис. 2):

Рис. 2

2. Функция распределения дискретной случайной величины постоянна на интервалах, на которых нет ее значений, и имеет конечные разрывы (скачки) в точках, соответствующих ее значениям. Величины скачков равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает свои значения.

Пример 8. Для дискретной случайной величины X из примера 1 найти и построить функцию распределения .

Решение. По определению функции распределения , используя полученный закон распределения случайной величины X, находим:

При , т.к., например, и так для всех точек данного интервала.

При , т.к., например, и так для всех точек данного интервала.

При = .

При

При

Таким образом, функция распределения будет такова:

График функции распределения имеет вид (рис.3):

Рис. 3

2.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется производная от ее функции распределения, т.е.:

. (9)

Если известна плотность распределения вероятностей , то справедлива формула:

. (10)

Геометрически вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала , численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения плотности , осью Ox и прямыми и (рис. 4):

Рис. 4

Связь между функцией распределения и плотностью вероятности :

1. Если известна , то .

2. Если известна , то . (11)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. при любом .

2. Условие нормировки:

. (12)

3.