1.5. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Полную характеристику случайной величины X можно дать с помощью закона распределения и числовых характеристик, к которым относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение.

Математическое ожидание определяет положение центра распределения и для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

(1)

Математическое ожидание обозначается буквой “a” и имеет размерность рассматриваемой случайной величины.

Математическое ожидание в некоторых случаях не может в достаточной степени охарактеризовать случайную величину, поскольку разброс ее значений относительно центра распределения бывает достаточно велик.

Для оценки рассеивания значений случайной величины от среднего значения используют дисперсию.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной X и ее математическим ожиданием .

Дисперсия для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

. (2)

Из свойств дисперсии, приведенных ниже, может быть получена другая формула для вычисления :

, где . (3)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата этой случайной величины.

Средним квадратическим отклонением (или разбросом, или стандартным отклонением) называется величина, вычисляемая как корень квадратный из дисперсии:

. (4)

Среднее квадратическое отклонение имеет размерность самой случайной величины.

Замечание 1. Если случайная величина X распределена по биномиальному закону с параметрами n и p, то для расчета математического ожидания и дисперсии можно применять следующие формулы:

, . (5)

Замечание 2. Если случайная величина X распределена по закону Пуассона, то:

. (6)

Пример 5. У дежурного гостиницы в кармане 5 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать открывать эту комнату, если проверенный ключ не кладется обратно в карман?

Решение. Рассмотрим случайную величину X – число попыток открыть дверь ближайшей комнаты, которая может принимать значения 1,2,3,4,5. Требуется найти . Составим сначала закон распределения случайной величины X. Введем события:

- “дверь открыта с i – ой попытки”, ;

- “дверь не открыта с i – ой попытки”, .

и - зависимые события, т.к. проверенный ключ не кладется обратно в карман.

По теореме умножения для зависимых событий, находим:

Проверка: - верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	1	2	3	4	5

Находим математическое ожидание:

- столько раз в среднем дежурному придется открывать эту комнату.

Ответ: 3 раза.

Приведем свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

, где .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

5. , где .

Приведем свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

, где .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Пример 6. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	-1	0	1	2
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти , , , где .

Решение. Вычисляем сначала числовые характеристики случайной величины X:

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, находим числовые характеристики случайной величины Y:

Ответ:

Пример 7. Найти значения случайной величины и ( ), заданной законом распределения, если , .

	0,1	0,9

Решение. По формуле (1) математическое ожидание , а по условию задачи , следовательно, получаем равенство или .

По формуле (3) дисперсия равна , а по условию задачи , тогда получаем, что , , .

Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Из первого уравнения системы выражаем переменную и подставляем ее во второе уравнение:

Решая квадратное уравнение, получаем, что и .

При ; при . Итак, система имеет два решения (3;4) и (4,8;3,8), но, так как, , то искомые значения случайной величины , .

Ответ: , .