49

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Институт открытого дистанционного образования

Случайные величины

Методические указания для решения задач и выполнения контрольных заданий по курсу «Теория вероятностей»

Нижний Новгород - 2007

УДК 516+517

Случайные величины: Методические указания для решения задач и выполнения контрольных заданий по курсу «Теория вероятностей». – Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2007. – 50 с.

В пособии приведены основные понятия, многочисленные примеры решения задач и контрольные задания раздела «Случайные величины» курса «Теории вероятностей», который изучается студентами всех специальностей ННГАСУ.

Составители: А.В. Бесклубная

П.В. Столбов

© ННГАСУ, 2007

Введение

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной называют величину, принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины – соответствующими малыми буквами латинского алфавита x, y, z и т. д.

Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью .

На практике встречаются два основных типа случайных величин:

1. дискретные случайные величины;

2. непрерывные случайные величины.

1. Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только конечное или счетное множество значений (иными словами: все возможные ее значения можно пронумеровать).

Примеры дискретных случайных величин:

1. число появлений герба при двух бросаниях монеты (возможные значения: 0, 1, 2);

2. число выстрелов до первого попадания в цель (1, 2, … , n);

3. число новорожденных за сутки в некотором роддоме (0, 1, 2, … , n).

1.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями .

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

			…	…
			…	…

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .

Закон распределения можно изобразить графически: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения (рис.1).

Рис. 1

Пример 1. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.

Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X – число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “попадание при i – ом выстреле”, ;

- “промах при i – ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.

Согласно условию задачи имеем:

,

,

,

,

По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:

(охотник попал в цель с первого выстрела);

(охотник попал в цель со второго выстрела);

(охотник попал в цель с третьего выстрела);

(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).

Проверка: - верно.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

	1	2	3	4
	0,7	0,18	0,06	0,06

Пример 2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки – 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.

Решение. Случайная величина X – число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “i – ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;

- “i – ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .

По условию задачи имеем:

,

,

, .

Станки работают независимо друг от друга, т. е. и - независимые события.

Пользуясь теоремой умножения для независимых событий и теоремой сложения для несовместных событий, находим:

Проверка: - верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	0	1	2	3
	0,504	0,398	0,092	0,006