Эффективная ставка

Введём теперь новое понятие- действительная, или эффективная ставка процента. Эффективная ставка-это годовая ставка сложных процентов, которая даёт тот же результат, что и m- разовое начисление процентов по ставке .

Соотношения эквивалентности между номинальной процентной ставкой наращения j и сложной процентной ставкой наращения а :

= .

Решив это уравнение относительно a и j , получим:

a = 1; j=m . (1.18)

Эффективная ставка m > 1 больше номинальной .

Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении ,т.е.Замена в договоре номинальной ставкиjпри m-разовом начислении процентов на эффективную ставкуa не изменит финансовых обязательств участников сторон.

Дисконтирование по сложной учетной ставке

Определение дисконтирования по сложной процентной ставке то же , что и по простой . Формулы дисконтирования сложных процентов:

P= , P = (1.19)

Множители = v и = v называются дисконтными множителями.

Разность D = S (1.20)

Называется дисконтом с суммы S.

♦Пример 1.17

Сумма 24 000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка процентов -19% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов.

Решение:

P = = = 18 504,24руб.

Учет по сложной учетной ставке

В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме , как при простой учетной ставке , а к сумме , уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя , рассчитывается по формуле :

P = S (I – d)ⁿ (1.21)

где d – сложная учетная .

Если дисконтирование производится m раз в году ,то в этом случае

P =

где f- номинальная годовая учетная ставка .

Эффективная учетная ставка (d ) характеризует степень дисконтирования за год . Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1 , меньше номинальной.

d = 1 - и f = m

Наращенную сумму можно выразить с помощью сложной учетной ставки

S = илиS =

♦Пример 1.18

Вексель на сумму 20 000 руб.учтен по сложной процентной ставке 18% годовых, срок платежа наступает через 1,8 года. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учёте, и дисконт при ежегодном и ежемесячном дисконтировании.

Решение:

P = S = 20 000 = 13 992, 49 руб.

D = S – P = 20 000 – 13992,49 = 6007,51.

D = S – P = 20 000 – 14 429,52 = 5 570 348 руб

Сила роста

Если в формуле (1,19), определяющей наращенную сумму при использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать , то количество этих периодов в году будет увеличиваться . Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста . Большое значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например , при анализе характеристик ценных бумаг.

Сила роста называется постоянной , если она не изменяется во времени . Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста δ :

S =

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов :

S = P (1.22)

δ = -1 (1.23)

По формулам (1,23) можно, в частности, зная дискретные ставки ценных бумаг , расcчитывать силу роста этих бумаг.

♦Пример 1.19

Определить силу роста и наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислении , если на сумму 3000 руб. начисляются проценты по сложной годовой ставке i = 22% в течении 3,5 лет.

Решение:

δ =ln(I+i) = lnl,22 = 0,19885984, или 19,885%

Наращенная сумма при непрерывном начислении:

S=P =3000 =6017,08 руб.

Наращенная сумма при дискретном начислении:

S=P( =3000( =6017,08 руб.

Таким образом, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали.

Если считать ,что переменная сила роста изменяется во времени ( =f(t) , то наращенная сумма и современная стоимость определяются соотношениями:

S=P exp( dt),P=S exp(- dt).

Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и по экспоненте.

♦Пример 1.20

Определить современную стоимость суммы 5000 руб., выплачиваемой через 2,8 года , при линейном изменении силы роста , когда начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста а = 0,1

Решение:

P=Sexp (-( n+ ))=5000(exp(-(0,12 2,8+ =2414,368.

♦ Пример 1.21

На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой – под 9,75% годовых. Что выгоднее – положить свободные денежные средства на годовой депозит, или два 100 тыс.$ и одним потерянным днём при переоформлении депозита можно пренебречь?

Решение:

Если денежные средства положить на годовой депозит, то наращённая сумма:

S=100 1,1 = 110 тыс.$.

Если два раза воспользоваться полугодовым депозитом, то наращённая сумма:

= 109,98766тыс.$.

Выгоднее воспользоваться годовым депозитом и выигрыш

=12,34 $.

♦Пример 1.22

На сумму долга в течении 4 лет начисляются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращённая сумма, если проценты будут капитализироваться поквартально?

Решение:

При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен , а при ежеквартальной капитализации - , т.е он будет больше в 1,01136 раза.

Наращённая сумма увеличится на 1,136% .

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Рассмотрим методы определения срока ссуды и величины процентной ствки для номинальной ставки и для линейного изменения силы роста.

Из формулы (1.17) находим:

J=m . (1.25)

♦Пример 1.23

За какой срок суммы ,равная 20 000руб.,достигнет 40 000руб. при начислении по сложной процентной ставке 19% годовых?Рассмотреть случаи помесячного начисления процентов один раз в год.

Решение:

J=m . (1.26)

При начислении процентов раз в году формула приобретает вид:

n= = = 3,98 года.

Таким образом ,срок ссуды при начислении раз в году больше срока ссуды при помесячном начислении.

♦Пример 1.24

Финансовый инструмент куплен за 50 000 руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 70 000руб., проценты начисляются один раз в месяц. Определить доходность операции в виде номинальной ставки и годовой ставки сложных процентов.

Находим номинальную процентную ставку по формуле (1.26):

J=m =0,188393, или 18,84%

Определяем доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов, используя соотношение:

I= )-1=( -1=0,2055,или 20,55%

Определение срока платежей и силы роста при остальных известных параметрах для случая непрерывного начисления процентов рассмотрим на примере линейного изменения силы роста от времени. Преобразуя формулу (1.24) можно определить искомые величины:

n= , (1.27)

Знак «плюс» перед корнем выбран из-за условия n>0

♦Пример 1.25

За какой срок сумма, равная 44000 руб., достигнет 100 000 руб. при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по линейному закону, начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста a=0,1.

Решение:

n= = = 3,026 года.

♦Пример 1.26

Определить начальное значение силы роста при её линейном изменении во времени, если долг за 2,5 года увеличится с 16 000руб. до 30 000 руб. при приросте силы роста a=-0,1.

Решение:

= = 0,3764, или 37,64%

♦Пример 1.27

Через сколько лет первоначальная сумма депозита возрастёт в два раза,если на вложенные средства начисляется 9,75% годовых и:а)используются простые проценты, б)сложные проценты с полугодовой капитализацией?

Решение:

Для простых процентов множитель наращения

1+n =2,

т.е. n=10,256 года. При использовании сложных процентов множитель наращения:

=2

т.е n= :(2 )=7,281 года.

♦Пример 1.28

По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2% годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на месячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело бы к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита ,если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов(k=360)?

Решение:

Прировняем соответствующие множители наращения:

1+ =

Отсюда получаем, что i= 0,101145≈10,11%

1.3 Конверсия платежей

Эквивалентными считаются такие платежи, которые ,будучи «приведенными» к некоторой базисной дате по ставке процентов , удовлетворяющей обе стороны, оказываются равными. Исходя из этого принципа, получают уравнение эквивалентности , в котором сумма заменяемых платежей , приведенных к базисному обязательству, приведенных к той же дате [1].

Наиболее простой вид принимает уравнение эквивалентности при консолидации платежей ,когда платежи , ,…, со сроками оплаты соответственно , ,..., заменяются одним в сумме и сроком оплаты . Здесь возможны две постановки задачи : если задается срок ,то находится сумма , и наоборот . При заданном ,если консолидация производится по ставке простых процентов i , размер консолидированного платежа

(1+ i)+ ( , (1.28)

где -платежи со сроками оплаты < = - ,;

-платежи со сроками оплаты > , = - .

Если требуется определить время оплаты консолидированного платежа , составляем уравнение эквивалентности , выбрав в качестве базисной даты начало отсчета .Разрешив уравнение эквивалентности относительно , для ставки простых процентов i(ставки «приведения»)получаем :

= ( -1), Q= (1+ . ( 1.29)

Формула (1,29) имеет смысл ,если размер консолидированного платежа не будет меньше « барьерного » значения Q, т.е для >Q. Таким образом определяют время оплаты.

♦Пример 1.29

Имеются три векселя с датами погашения , указанными в скобках ,на сумму 12,5 тыс.(8.04);7,25 тыс . (15.07) и 10,3 тыс. $ (23.11).Решено заменить их одним векселем на основе банковской учетной ставки 7% годовых с оплатой 3.03.Какую сумму следует поставить в новом векселе ,если базовой для расчета выбрана дата 3.03?

Решение:

Пусть S –сумма нового векселя. Составим уравнение эквивалентности :

S=12,5 (1-- +7,25 1-- +10,3 - .

Проведя расчеты ,получим S = 29 242,86$.

♦Пример 1.30

Платежи в сумме 8.25 тыс. 10,05 тыс. и 25,45 тыс. $ со сроками оплаты соответсвенно через 2; 3,5 и 4 года должны быть заменены одним платежом, содержащим целое число тысяч долларов. Замена производится на основе сложной ставки 8,75% годовых.Чему равна минимальная допустимая сумма платежа и через какой срок он должен быть оплачен?

Решение:

Обозначим через S сумму заменяемого платежа , через n –срок выплаты этой суммы. Запишем уравнение эквивалентности , выводя все платежи на начало отсчета:

8,25 +10,05 +25,45 =S .

Логарифмируя обе части этого уравнения , получаем :

n= .

Формула имеет смысл только тогда, когдаS >32,66474 тысяч. Следовательно ,требуемая сумма S = 33 тыс.Подставляя это значение в формулу ,имеем n= 0,122 года.

11