1.3. Система двух случайных величин

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы (табл. 1.2), характеризующей собой совокупность всех значений случайных величин и соответствующих вероятностей:

Причем, сумма всех вероятностей , как и сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице.

Таблица 1.2

Значения СВ	x1	x2	…	xn	ΣP(yj)
y1	P(x1,y1)	P(x2,y1)	…	P(xn,y1)	P(y1)
y2	P(x1,y2)	P(x2,y2)	…	P(xn,y2)	P(y2)
…	…	…	…	…	…
ym	P(x1,ym)	P(x2,ym)	…	P(xn,ym)	P(ym)
ΣP(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)	1

По закону распределения двумерной случайной величины можно составить законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Таблица 1.3

Ряд распределения для СВ X:

СВ X	x1	x2	…	xn
ΣP(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)

Таблица 1.4

Ряд распределения для СВ Y:

СВ Y	y1	y2	…	ym
ΣP(yi)	P(y1)	P(y2)	…	P(ym)

Условный закон распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y=y₀ – это набор возможных значений X вместе с условными вероятностями . При вычислении этих вероятностей надо использовать формулу для условной вероятности:

.

Математическим ожиданием двумерной СВ (X, Y) называется совокупность двух математических ожиданий. M[X] и M[Y], определяемых равенствами:

,

Дисперсией системы СВ (X, Y) называется совокупность двух дисперсий D[X] и D[Y], определяемых равенствами:

, ,

или

, ,

Пример 8. Дана таблица распределения вероятностей двумерной случайной величины (X;Y) (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Y X	-1	0	1
0	0	0,3	0,1
1	0,2	0,1	0,3

Найти:

а) , , ;

б) , .

Решение. Складывая вероятности в столбцах и строках таблицы двумерного распределения, получим одномерные распределения случайных величин X и Y (табл. 1.6 и табл. 1.7).

Таблица 1.6

X	0	1
P	0,4	0,6

Таблица 1.7

Y	-1	0	1
P	0,2	0,4	0,4

а) Вычисляем числовые характеристики:

б) Числовые характеристики произведения случайных величин находим, умножая их значения на соответствующие вероятности:

Для нахождения условного математического ожидания нужно сначала найти условное распределение случайной величины Y при условии, что X = 0. Для таблицы двумерного распределения (X; Y) все вероятности в первой строке поделим на . Получим таблицу условного распределения Y:

Y	-1	0	1
PX=0	0	0,75	0,25

Найдем теперь условное математическое ожидание:

.