Розділ 3.2. Формула повної ймовірності

Теорема: Ймовірність події А , яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій В₁, В₂, … , В_п , які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.

. (3.3)

Доведення

Подія А може відбутися, якщо відбудеться одна з несумісних подій В₁, В₂, … , В_п . Тобто поява події А означає здійснення однієї, будь якої з несумісних подій , , … , Використовуючи теорему додавання (формула 2.1), одержимо

.

Оскільки подія А і події В₁, В₂, … , В_п залежні, тоді

……………………..

Звідки .

Наприклад:

У першій коробці міститься 15 приладів, з яких 14 якісних, а у другій – 20 приладів, з яких – 17 якісних. Із першої коробки навмання вилучають прилад і перекладають його у другу коробку. Знайти ймовірність того, що прилад, який вилучили з другої коробки, є якісним.

Рішення

Подія А – з другої коробки вилучили якісний прилад.

Тоді мають місце гіпотези (припущення) щодо того, який прилад вилучили з першої коробки:

- з першої коробки вилучили якісний прилад;

- з першої коробки вилучили неякісний прилад.

Тоді:

Знайдемо умовні ймовірності того, що з другої коробки вилучили якісний прилад, якщо з першої коробки вилучили якісний прилад та якщо з першої коробки вилучили неякісний прилад :

;

Задачі до розділу 3.2

Задача 3.2.1

На базі зберігається однотипна продукція трьох підприємств, причому 30% - продукція I підприємства, 50% - продукція II підприємства, 20% - продукція III підприємства. Якісна продукція I підприємства складає 95%, II підприємства – 80%, III підприємства -70%. Знайти ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Рішення

Подія А - навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Можливі наступні гіпотези:

- обрана продукція належить I підприємству;

- обрана продукція належить II підприємству;

- обрана продукція належить III підприємству.

За умовою задачі, ймовірності цих гіпотез наступні:

;

;

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на I підприємстві буде

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на II підприємстві буде

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на III підприємстві буде

.

Ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною, визначається за формулою повної ймовірності

,

.

Задача 3.2.2

У інформаційному центрі є комп’ютери двох фірм-виробників. Ймовірність того, що під час виконання розрахунків за деякою програмою комп’ютер першої фірми-виробника вийде з ладу 0,05, другої 0,2. Науковець робить розрахунки на навмання обраному комп’ютері. Знайти ймовірність того, що до кінця виконання розрахунків комп’ютер не вийде з ладу.

Задача 3.2.3

У першій урні знаходиться 10 кульок, з яких 8 білих, у другій урні – 20 кульок, з яких 4 білі. З кожної урни навмання вилучили по одній кульці а потім з цих двох кульок навмання обрано одну. Знайти ймовірність того, що обрано білу кульку.