Розділ 2.5. Завдання до заняття 2
Питання до заняття 2
1. Що називається сумою двох подій?
2. Які події називаються несумісними?
3. Сформулювати теорему додавання двох несумісних подій.
4. Сформулювати теорему про ймовірність повної групи подій.
5. Які події називаються протилежними?
6. Сформулювати теорему про суму ймовірностей протилежних подій.
7. Що називається добутком двох подій?
8. Яка ймовірність називається умовною?
9. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох залежних подій.
10. Які події називаються незалежними?
11. Сформулювати теорему про ймовірність сумісної появи двох незалежних подій.
12. Які події називаються сумісними?
13. Сформулювати теорему додавання двох сумісних подій.
Розділ 3.1. Ймовірність появи хоча б однієї події
Теорема: Ймовірність появи хоча б
однієї з подій
,
незалежних у сукупності, дорівнює
різниці між одиницею і добутком
ймовірностей протилежних подій
.
.
(3.1)
Доведення
Нехай
подія А полягає в появі хоча б однієї
з подій
.
Подія А і подія
(жодна з подій
не
настала) протилежні, тому сума їх
ймовірностей дорівнює одиниці.
.
Звідси
,
,
.
Наслідок:
Якщо події
мають
однакову ймовірність, що дорівнює
,
тоді ймовірність появи хоча б однієї з
цих подій визначається за формулою
.
(3.2)
Наприклад:
1.
Ймовірність виготовлення стандартної
деталі на одному з трьох верстатів
відповідно дорівнюють
=0,8,
= 0,85,
= 0,9. Знайти ймовірність виготовлення
хоча б однієї стандартної деталі при
роботі на трьох верстатах (подія А).
Рішення
Знайдемо ймовірності протилежних подій (виготовлення нестандартних деталей на кожному з верстатів)
.
2. Ймовірність того, що подія відбудеться хоча б один раз в трьох незалежних в сукупності випробуваннях, дорівнює 0,964. Знайти ймовірність появи події в одному випробуванні, вважаючи, що ймовірність появи події в кожному випробуванні однакова.
Рішення
Використовуючи формулу (3.2), маємо
Задачі до розділу 3.1
Задача 3.1.1
Від складських приміщень до цеху постачання здійснюються двома вантажними автомобілями. Ймовірність того, що кожна вантажівка вчасно прибуде до цеху дорівнює 0.95. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з вантажівок прибуде вчасно.
Рішення
Подія
А
– хоча б одна з вантажівок прибуде
вчасно. Подія А
складається з появи хоча б однієї з
подій:
-
вчасне прибуття 1-ї вантажівки;
-
вчасне прибуття 2-ї вантажівки, що є
незалежними подіями, тоді:
,
,
,
.
Задача 3.1.2
Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови елементів відповідно дорівнюють – 0,06; 0,05 і 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо для цього достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент.
Рішення
Подія А складається з появи хоча б однієї з подій:
- відмовив I елемент;
-
відмовив II
елемент;
-
відмовив III
елемент, що є незалежними подіями, тому:
,
де
;
;
;
.
Задача 3.1.3
Троє стрільців зробили постріл по цілі. Ймовірність влучення в ціль першого стрільця 0,75, другого – 0,65 і третього – 0,9. Знайти ймовірність того, що хоча б один зі стрільців влучить у ціль.
Задача 3.1.4
Студент розшукує потрібну формулу в двох довідниках. Ймовірність того, що формула міститься в першому довіднику 0,7, в другому довіднику – 0,65. Знайти ймовірність того, що формула міститься хоча б в одному з довідників.