Задачі до розділу 2.3
Задача 2.3.1
На складі зберігається продукція з трьох партій, відомо, що з I партії 90% продукції відповідає стандарту, з II партії – 80%, з III партії – 85%. З кожної партії обрано по одиниці продукції. Знайти ймовірність того, що всі три одиниці стандартні.
Рішення
Розглянемо події:
А – продукція I партії стандартна;
В – продукція II партії стандартна;
С – продукція III партії стандартна.
Обрання стандартної продукції з I, II, III партій є подіями незалежними, причому такими, що відбуваються одночасно. Тому застосуємо теорему множення ймовірностей незалежних подій.
Р(А) =0,9
Р(В) =0,8
Р(С) =0,85
Задача 2.3.2
Два біатлоністи стріляють по мішенях. Ймовірність влучення для першого біатлоніста 0.85, а для другого - 0.9. Знайти ймовірність того, що влучить у мішень тільки один біатлоніст.
Рішення
Подія А – влучить у мішень тільки один біатлоніст.
Подія А відбудеться у випадку: влучить в мішень тільки перший біатлоніст, а другий не влучить; або у випадку: влучить в мішень другий біатлоніст, а перший не влучить.
Позначимо події:
подія В –перший біатлоніст влучить у мішень;
подія С –другий біатлоніст влучить у мішень
і протилежні їм події:
-
перший біатлоніст не влучить у мішень;
-
другий біатлоніст не влучить у мішень.
Тоді за допомогою теорем додавання й множення ймовірностей отримаємо:
Р(А)=Р(В)
+ Р(С)
,
де Р(В)=0,85, Р(С)=0,9 , а протилежні їм події мають ймовірності
=
1
- Р(В) = 1 – 0,85 = 0,15;
=
1
– Р(С) = 1 – 0,9 = 0,1.
Р(А)=
Задача 2.3.3
Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що вироб стандартний 0.75. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки один стандартний.
Задача 2.3.4
Студент розшукує потрібне йому питання в трьох підручниках. Ймовірність того, що питання міститься в першому підручнику 0,4; в другому підручнику 0,7, а в третьому підручнику 0,75. Знайти ймовірність того, що питання міститься у всіх трьох підручниках.
Задача 2.3.5
Кинуто три гральних кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях всіх кубиків випаде число 3.
Розділ 2.4. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
Означення: Дві події називаються сумісними , якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому ж випробуванні.
Наприклад, подія “поява трьох очок при киданні грального кубика” і подія “поява непарного числа очок при киданні грального кубика” є сумісними.
Теорема: Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи
. (2.7)
Доведення
Оскільки
події А і В – сумісні, тоді подія
А+В відбудеться, якщо відбудеться
одна з трьох несумісних подій:
.
.
Подія
А відбудеться, якщо відбудеться
одна з подій
.
За теоремою додавання:
Аналогічно:
Звідси:
.
При використанні одержаної формули треба мати на увазі, що події А і В можуть бути як залежними, так і незалежними, тому формула (2.7) набуде вигляду
для
незалежних подій:
;
(2.8)
для
залежних подій:
.
(2.9)
Наприклад:
Ймовірність
одержання сертифікату якості для першого
і другого виду виробів відповідно
дорівнює
=0,7
і
=0,8.
Знайти ймовірність одержання сертифікату
якості хоча б одним виробом підприємства.
Рішення
Подія А – перший вироб одержить сертифікат якості.
Подія В – другий вироб одержить сертифікат якості.
Події А і В незалежні (одержання сертифікату якості першим виробом не залежить від одержання сертифікату другим).
Подія А+В – хоча б один вироб підприємства одержав сертифікат якості, тобто або перший (А), або другий (В), або обидва вироби (АВ), тоді за формулою (2.7)
=
0,7+0,8 - 0,7·0,8=0,94.