Розділ 2.2. Ймовірність повної групи подій. Протилежні події

Теорема: Сума ймовірностей подій , які утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

(2.2)

Доведення

Оскільки поява однієї з подій повної групи є подія достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то . Будь-які дві події повної групи несумісні, тому за теоремою додавання

Приклад:

Консультаційний пункт університету одержує пакети з контрольними роботами із населених пунктів Інгулець (подія А), Апостолово (подія В)і Нікополь (подія С). Ймовірність одержання пакета з Інгульця дорівнює 0,7, з Апостолово – 0,2. Знайти ймовірність того, що наступний пакет буде одержано з Нікополя.

Рішення

; ; .

Означення: Протилежними називаються дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одну з двох протилежних подій позначити через , тоді другу прийнято позначати (не А).

Приклад: З ящика навмання вилучили деталь. Подія “витягли стандартну деталь” є протилежною до події “витягли нестандартну деталь”.

Теорема: Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці

. (2.3)

Доведення

Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

, , .

Приклад:

Ймовірність того, що робітник за одну зміну виготовить 10 деталей, дорівнює 0,15; ймовірність виготовити 9 деталей – 0,2; виготовити 8 або менше деталей – 0,65. Знайти ймовірність того, що за одну зміну робітник виготовить не менше 9 деталей.

Рішення

Подія А – робітник виготовив не менше 9 деталей, тобто або 9, або 10.

І спосіб:

ІІ спосіб: Подія - робітник виготовить менше 9 деталей.

Розділ 2.3. Множення ймовірностей

Означення: Добутком двох подій А і В називають подію , яка полягає в сумісній появі цих подій.

Приклад:

1. Якщо подія А – деталь стандартна, подія В – деталь пофарбована, тоді подія - деталь і стандартна і пофарбована (і та і інша одночасно).

2. Події А, В і С – поява герба при першому, другому і третьому киданні монети відповідно, тоді подія - поява „герба” при трьох киданнях монети.

Умовна ймовірність

Означення: Умовною ймовірністю називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже відбулася.

Наприклад:

У ящику 3 стандартні і 3 браковані деталі. З ящика два рази вилучають по одній деталі. Знайти ймовірність появи стандартної деталі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні було вилучено браковану деталь (подія А)

Рішення

.

Теорема: Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулася

. (2.4)

Наслідок: Ймовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже відбулися.

. (2.5)

Порядок, за яким розташовано події, може бути довільним, тобто не має значення яку подію вважати першою, другою і т.п.

Приклад:

В урні 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кульки. Кожне випробування полягає у вилученні навмання однієї кульки, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла кулька (подія А), при другому – чорна (подія В) і при третьому – синя (подія С).

Рішення

.

Означення: Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності , тобто поява події А не залежить від появи події В.

Теорема: Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

. (2.6)

Практично про незалежність подій судять із змісту задачі. Наприклад, ймовірність влучення кожної з двох гармат не залежить від того, чи влучила інша гармата, тому подія “перша гармата влучила” і подія “друга гармата влучила” є незалежними.

Приклад:

1. Нехай в кожному з трьох ящиків знаходиться по 10 деталей. У першому – 8, у другому – 7 і у третьому – 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання вилучили по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три деталі, що вилучено, будуть стандартними.

Рішення

Подія А – з першого ящика вилучили стандартну деталь.

Подія В – з другого ящика вилучили стандартну деталь.

Подія С – з третього ящика вилучили стандартну деталь.

Оскільки події є незалежними, то

2. Ймовірність появи кожної з трьох незалежних подій відповідно дорівнюють . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.

Рішення

Подія - з’явиться подія і одночасно не з’являться події і .

Подія - з’явиться подія і одночасно не з’являться події і .

Подія - з’явиться подія і одночасно не з’являться події і .

Подія А – поява однієї з подій .

.