Розділ 2.1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Означення: Сумою двох подій А і В називається подія А+В, яка полягає в появі події А або події В, або обох цих подій.

Наприклад:

1. Якщо з гармати зроблено два постріли і подія А - попадання з першого пострілу, подія В – попадання з другого пострілу, тоді А+В – попадання при першому або при другому пострілі, або при обох пострілах.

Якщо дві події А і В – несумісні, тоді А+В – подія, яка полягає в появі однієї з цих подій.

2. Підприємство одержало більший прибуток за рахунок виконання наступних заходів. Подія А - збільшення обсягів випуску продукції, подія В – зменшення собівартості продукції, тоді А+В – підприємство або збільшило обсяг випуску продукції, або зменшило її собівартість, або одночасно і збільшило обсяг і зменшило собвартість продукції.

Теорема: Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, не має значення якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

. (2.1)

Доведення

Нехай п – загальне число можливих елементарних результатів випробування; т₁ – число результатів сприятливих події А; т₂ - число результатів сприятливих події В.

Число елементарних результатів сприятливих або події А або події В, дорівнює події т₁+т₂. Значить,

Приклад:

1. Токар виготовив 30 болтів, з яких 10 мідних, 5 зі сплаву нікеля і 15 залізних. Вся вироблена продукція зберігається у ящику.Знайти ймовірність того, що робітник навмання витягне не залізний болт.

Рішення

Подія А - витягти мідний болт. .

Подія В – витягти болт зі сплаву нікеля. .

Тоді подія А+В – витягти не залізний болт (або мідний, або зі сплаву нікеля)

2. На конвейєр поступають деталі, що виготовляються трьома верстатами-автоматами. Ймовірність виготовлення деталі першим верстатом-автоматом дорівнює 0,45, другим – 0,35. Знайти ймовірність того, що деталь була виготовлена або першим, або другим верстатом-автоматом.

Рішення

Подія А+В – деталь була виготовлена або першим, або другим верстатом-автоматом.

Задачі до розділу 2.1

Задача 2.1.1

В ящику знаходиться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх кульок. Витягли одну кульку. Знайти ймовірність того, що витягли білу або синю кульку.

Рішення

А – витягли білу або синю кульку. Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна з несумісних подій: В – витягли білу кульку або С – витягли синю кульку. Тоді для знаходження ймовірності події А застосуємо теорему додавання ймовірностей несумісних подій:

Р(А) = Р(В) + Р(С) ,

де

Задача 2.1.2

На полиці книгарні розташовано 15 підручників, причому 4 з них з теорії ймовірностей. Продавець навмання бере 3 підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з підручників буде з теорії ймовірностей.

Рішення

Подія А – хоча б один з підручників з теорії ймовірностей. Подія А може відбутись за умови, що відбудеться одна з несумісних подій:

В – 1 підручник з теорії ймовірностей;

С – 2 підручника з теорії ймовірностей;

Д – 3 підручника з теорії ймовірностей.

Тому ймовірність події А знаходимо за теоремою додавання ймовірностей:

Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д) ,

де

;

;

Задача 2.1.3

На складі зберігається продукція чотирьох підприємств, що виготовляють комп’ютери, причому 30% продукції з першого підприємства, 20% - другого підприємства, 40% - третього підприємства, 10% - четвертого підприємства. Знайти ймовірність того, що навмання обраний комп’ютер належатиме продукції першого або четвертого підприємства.

Задача 2.1.4

В коробці зберігаються 14 деталей, причому 5 з них пофарбовані. Робітник навмання бере 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед обраних будуть 3 або 4 пофарбовані деталі.