Розділ 17.3. Вибірковий коефіцієнт кореляції

Як видно з формули (17.4) вибірковий коефіцієнт кореляції визначається за формулою

де і - варіанти (значення, що спостерігаються) ознак Х і У; - частота пари варіант ; - обсяг виборки (сума всіх частот); - вибіркові середні квадратичні відхилення; - вибіркові середні.

Відомо, що якщо величини Х і У є незалежними, тоді коефіцієнт кореляції , якщо ж величини Х і У мають лінійну функціональну залежність, тоді . Звідси видно, що коефіцієнт кореляції вимірює тісноту лінійного зв’язку між Х і У.

В свою чергу вибірковий коефіцієнт кореляції є оцінкою коефіцієнта кореляції генеральної сукупності і тому може застосовуватися для оцінки лінійного зв’язку між величинами У і Х.

Методика обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції

Нехай необхідно за даними кореляційної таблиці обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції. Використаємо метод добутків обчислення числових характеристик, для цього перейдемо до умовних варіант

і (17.6)

У цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою

(17.7)

Величини можна обчислити методом добутків (дивись заняття 14). Проблема полягає в обчисленні , де - частота пари умовних варіант . Для цього використаємо формули

де

(17.8)

де

Приклад:

Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за даними кореляційної таблиці

	5	10	15	20	25	30
10	3	2	-	-	4	1	10
14	2	-	5	3	-	2	12
18	-	-	3	-	2	-	5
22	4	7	1	1	-	-	13
26	1	-	-	5	5	7	18
	10	9	9	9	11	10

Рішення

Використовуючи формули (17.6) перейдемо до умовних варіант (таблиця 1). За хибні нулі візьмемо , тобто варіанти, що відповідають середині значень Х і У, шаг для значення Х , для значення У .

Таблиця 1

	-2	-1	0	1	2	3
-2	3	2	-	-	4	1	10
-1	2	-	5	3	-	2	12
0	-	-	3	-	2	-	5
1	4	7	1	1	-	-	13
2	1	-	-	5	5	7	18
	10	9	9	9	11	10

Тепер для обчислення складемо розрахункову таблицю 2. Для цього у правому верхньому куті записують добуток частоти на варіанту і додають всі числа, що розміщені у правих верхніх кутах, а їх суму записують в клітину тої ж строки стовпця . Множимо варіанту на і одержаний добуток записують в останню клітину того ж рядка, тобто в клітину стовпця . Додають всі числа стовпця і одержують суму , що дорівнює сумі . Для контролю аналогічні обчислення за стовпцями добутку , які записують у лівий нижній кут клітини. Всі числа, що розміщені в лівих нижніх кутах одного стовпця додають, а їх суму записують у рядок . Далі множать кожну варіанту на і результат записують у клітинах останнього рядка. В кінці додають всі числа останнього рядка, одержують суму , що також дорівнює шуканій сумі .

Таблиця 2

	-2	-1	0	1	2	3
-2	-6 3 -6	-2 2 -4	-	-	8 4 -8	3 1 -2	3	-6
-1	-4 2 -2	-	0 5 -5	3 3 -3	-	6 2 -2	5	-5
0	-	-	0 3 0	-	4 2 0	-	4	0
1	-8 4 4	-7 7 7	0 1 1	1 1 1	-	-	-14	-14
2	-2 1 2	-	-	5 5 10	10 5 10	21 7 14	34	68
	-2	3	-4	8	2	10
	4	-3	0	8	4	30

Величини можна обчислити методом добутків. Використовуючи таблицю 1 складемо розрахункову таблицю 3.

Таблиця 3

№ п/п
1	-2	10	-20	40	-2	10	-20	40
2	-1	9	-9	9	-1	12	-12	12
3	0	9	0	0	0	5	0	0
4	1	9	9	9	1	13	13	13
5	2	11	22	44	2	18	36	72
6	3	10	30	90
		58	32	192		58	17	137

Знайдемо умовні середні:

Знайдемо умовні дисперсії:

Тоді вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюємо за формулою (17.7)