Розділ 17.1. Кореляційна таблиця
При великій кількості спостережень одне й теж значення х може зустрічатися пх раз, одне й те ж значення у – пу раз, одна й таж пара чисел (х; у) може спостерігатися пху раз. Тому ці спостереження групуються, тобто підраховуються частоти пх, пу і пху . Всі згруповані дані записуються у вигляді таблиці, яку називають кореляційною.
Приклад:
Кореляційну таблицю можна представити наступним чином
-
У
Х
пу
5
10
15
20
-3
1
2
5
3
11
3
2
5
7
14
пх
3
7
12
3
п=25
У першому рядку таблиці вказано значення ознаки Х, що спостерігалася:
(5; 10; 15; 20), а у першому стовпці ознаки У: (-3; 3). На перетині рядків і стовпців знаходяться частоти пар значень ознак пху, що спостерігаються. Наприклад, частота 1 знаходиться на перетині значень ознак Х=5 і У= -3, тобто пара (5; -3) зустрічається 1 раз. В останній нижній клітині наведена кількість пар
(х; у).
Розділ 17.2. Відшукування параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії по згрупованим даним
В занятті 16 для визначення прямої лінії регресії користувалися методом найменших квадратів. Але коли одні й ті ж пари зустрічаються часто або обсяги вибірок великі, працювати з не згрупованими даними важко. Тоді складають кореляційну таблицю. Використаємо систему (16.3) заняття 16 для побудови кореляційного рівняння прямої лінії
Перепишемо її так, щоб вона відображала дані кореляційної таблиці. Для цього використаємо тотожності
Підставимо наведені вище тотожності у систему і одержимо
або
(17.1)
Із
системи (17.1) за формулами Крамера знайдемо
параметри
і
Таким
чином, рівняння прямої лінії набуде
вигляду
.
Із другого рівняння системи (17.1) знайдемо
.
Тому введемо нову величину – вибірковий коефіцієнт кореляції, тоді рівняння прямої лінії регресії буде мати вигляд
.
(17.2)
Знайдемо
коефіцієнт регресії з системи (17.1) і її
розв’язку, враховуючи що за теоремою
про знаходження дисперсії
.
(17.3)
Помножимо
обидві частини рівності (17.3) на дріб
і одержимо
.
Позначимо
праву частину через
і назвемо цю величину вибірковим
коефіцієнтом кореляції. Тоді
(17.4)
Перетворивши рівняння (17.2) одержимо вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х
.
(17.5)