Розділ 16.7.Знаходження параметрів множинної лінійної залежності

У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність

. (16.6)

Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності (16.6) метод найменших квадратів.

Одержуємо систему

Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якоъ знаходимо параметри рывняння (10.6).

(16.7)

Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння

. (16.8)

Після перетворень система (16.7) для визначення параметрів рівняння (16.8) набуде вигляду

(16.9)

Приклад: Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у, млн. грн. підприємств від суми основних х₁ і оборотних х₂ виробничих фондів, млн. грн. і середньорічної чисельності працюючих х₃, чол. Вихідні дані для побудови виробничої функції представлені у таблиці 1.

Таблиця 1

Виробничі фонди, число працюючих і виробництво валової продукції підприємств

х1	х2	х3	у
10	3	250	4,1	100	9	62500	16,81	30	2500	750	41,0	12,3	1025
12	5	280	5,6	144	25	78400	31,36	60	3360	1400	67,2	28,0	1568
7	2	240	3,1	49	4	57600	9,61	14	1680	480	21,7	6,2	744
13	6	290	6,4	169	36	84100	40,96	78	3770	1740	83,2	38,4	1856
18	7	510	8,6	324	49	260100	73,96	126	9180	3570	154,8	60,2	4386
11	5	270	5,5	121	25	72900	30,25	55	2970	1350	60,5	27,5	1485
23	10	540	11,0	529	100	291600	121,00	230	12420	5400	253,0	110,0	5940
16	8	300	7,9	256	64	90000	62,41	128	4800	2400	126,4	63,2	2370
7	3	250	3,8	49	9	62500	14,44	21	1750	750	26,6	11,4	950
17	7	510	8,5	289	49	260100	72,25	119	8670	3570	144,5	59,5	4335
134	56	3440	64,5	2030	370	1319800	473,05	861	51100	21410	978,9	416,7	24659

Підставимо значення сум у систему (16.9) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.

Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)

Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва вадової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду

.

Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції

	4,1	5,6	3,1	6,4	8,6	5,5	11,0	7,9	3,8	8,5	64,5
	4,073	5,624	3,140	6,373	8,587	5,480	11,018	7,912	3,798	8,495	64,500

Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.