Розділ 16.4. Побудова рівняння квадратичної функції
У
випадку квадратичної функції
за формулою (16.1) знаходимо мінімум суми
як функції трьох змінних a,
b,
c,
при яких частинні похідні її повинні
дорівнювати нулю
Знаходимо
частинні похідні
функції
Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь
(16.4)
Приклад:
Статистичні дані витрат В підприємства і вкладень у модернізацію обладнання М наведено у вигляді таблиці.
М |
3,5 |
4,1 |
4,5 |
4,2 |
5,5 |
5,7 |
6,3 |
7,5 |
8,0 |
8,0 |
В |
13,0 |
8,5 |
6,5 |
5,0 |
3,3 |
2,9 |
2,9 |
5,2 |
7,0 |
9,1 |
Припускаючи,
що між змінними В
i
М
існує квадратична залежність, знайти
емпіричну формулу
за методом найменших квадратів.
Рішення
Для спрощення обчислень позначимо витрати В через змінну у, а вкладення в модернізацію М через змінну х та складемо розрахункову таблицю.
X (М) |
Y (В) |
x**2 |
х**3 |
х**4 |
XY |
х**2у |
(Y) |
(Y)-y |
3,5 |
13 |
12,25 |
42,875 |
150,0625 |
45,5 |
159,25 |
12,04065471 |
-0,95935 |
4,1 |
8,5 |
16,81 |
68,921 |
282,5761 |
34,85 |
142,885 |
8,074138338 |
-0,42586 |
4,5 |
6,5 |
20,25 |
91,125 |
410,0625 |
29,25 |
131,625 |
6,016432497 |
-0,48357 |
4,2 |
5 |
17,64 |
74,088 |
311,1696 |
21 |
88,2 |
7,515713997 |
2,515714 |
5,5 |
3,3 |
30,25 |
166,375 |
915,0625 |
18,15 |
99,825 |
2,925402328 |
-0,3746 |
5,7 |
2,9 |
32,49 |
185,193 |
1055,6 |
16,53 |
94,221 |
2,65917934 |
-0,24082 |
6,3 |
2,9 |
39,69 |
250,047 |
1575,296 |
18,27 |
115,101 |
2,564476465 |
-0,33552 |
7,5 |
5,2 |
56,25 |
421,875 |
3164,063 |
39 |
292,5 |
5,542918124 |
0,342918 |
8 |
7 |
64 |
512 |
4096 |
56 |
448 |
8,0305421 |
1,030542 |
8 |
9,1 |
64 |
512 |
4096 |
72,8 |
582,4 |
8,0305421 |
-1,06946 |
57,3 |
63,4 |
353,63 |
2324,499 |
16055,89 |
351,35 |
2154,007 |
63,4 |
-1,3E-11 |
Використовуючи
формулу (16.4) складемо систему для
знаходження коефіцієнтів
Знайдемо розв’язок системи рівнянь за формулами Крамера
Тоді шукане рівняння набуде вигляду
За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 3 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння параболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння квадратичної лінії регресії.
Рис. 3