Розділ 16.3. Побудова рівняння лінійної функції
Розглянемо
випадок, коли
є лінійною
функцією з
невідомими параметрами a
i
b.
Тоді величина відхилення
,
а сума їх квадратів
.
(16.2)
є функцією двох змінних a i b ( xi, yi – числа з таблиці). За необхідною умовою існування екстремуму, функція S (a,b) приймає мінімальне значення при тих значеннях a i b , при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли
Із
формули (16.2)
знаходимо
Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь
(16.3)
Система (16.3) називається нормальною системою методу найменших квадратів.
Розв'язуючи
систему рівнянь (16.3), знаходять
числа a
i
b
, які підставляють
у
рівняння
що і дає формулу шуканої залежності.
Метод найменших квадратів був запропонований німецьким математиком К. Гауссом.
Приклад:
Статистичні
дані чистого
прибутку П
підприємства
і обсягів
виробленої продукції
наведено у
вигляді таблиці.
П |
-1,32 |
-0,35 |
1,03 |
2,31 |
2,96 |
3,26 |
4,13 |
5,66 |
6,31 |
7,26 |
|
3,19 |
4,05 |
5,29 |
6,45 |
7,02 |
7,29 |
11,07 |
9,01 |
10,05 |
10,86 |
Припускаючи,
що між змінними
і П
існує
лінійна залежність, знайти емпіричну
формулу
за методом найменших квадратів.
Рішення
Складемо розрахункову таблицю.
X |
Y |
x**2 |
XY |
(Y) |
(Y)-y |
-1,32 |
3,19 |
1,7424 |
-4,2108 |
3,324191 |
0,134191 |
-0,35 |
4,05 |
0,1225 |
-1,4175 |
4,219735 |
0,169735 |
1,03 |
5,29 |
1,0609 |
5,4487 |
5,493809 |
0,203809 |
2,31 |
6,45 |
5,3361 |
14,8995 |
6,675558 |
0,225558 |
2,96 |
7,02 |
8,7616 |
20,7792 |
7,275665 |
0,255665 |
3,26 |
7,29 |
10,6276 |
23,7654 |
7,552638 |
0,262638 |
4,13 |
11,07 |
17,0569 |
45,7191 |
8,355858 |
-2,71414 |
5,66 |
9,01 |
32,0356 |
50,9966 |
9,768417 |
0,758417 |
6,31 |
10,05 |
39,8161 |
63,4155 |
10,36852 |
0,318524 |
7,26 |
10,86 |
52,7076 |
78,8436 |
11,2456 |
0,385604 |
31,25 |
74,28 |
169,2673 |
298,2393 |
74,28 |
-8,4E-15 |
За формулою (16.3) знайдемо коефіцієнти рівняння прямої лінії регресії
За формулами Крамера знайдемо розв’язок системи
Таким чином, рівняння прямої лінії регресії набуде вигляду
За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 2 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння прямої, побудоване за допомогою знайденого рівняння прямої лінії регресії.
Рис.2