Розділ 15.5. Завдання до заняття 15

Теоретичні питання до заняття 15

1. Дати означення статистичної гіпотези.

2. Дати означення нульової і конкуруючої гіпотези.

3. Дати означення статистичного критерія.

4. Дати означення критичної області і області прийняття нульової гіпотези.

5. Дати означення і пояснити алгоритм побудови правосторонньої критичної області.

6. Дати означення і пояснити алгоритм побудови лівосторонньої критичної області.

7. Дати означення і пояснити алгоритм побудови двосторонньої критичної області.

8. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей при конкуруючій гіпотезі .

9. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей, при конкуруючій гіпотезі .

10. Дати означення статистичного критерія згоди.

11. Сформулювати правило перевірки нульової гіпотези : генеральна сукупність має нормальний розподіл.

12. Сформулювати методику обчислення теоретичних частот.

Розділ 1.6. Поняття кореляції

При вивченні вищої математики користуються встановленими законами, однозначними залежностями одних величин від інших. Якщо кожному значенню змінної х за певним правилом або законом ставиться у відповідність одне певне значення змінної у , тоді говорять, що у є функцією від аргументу х і це записують як .

Але такі функціональні зв’язки мають обмежене розповсюдження. Особливо це стосується економічних, біологічних, суспільних явищ. Зміна даних явищ характеризується тим, що числовому значенню однієї ознаки відповідає не одна і та ж певна величина, а певна сукупність значень іншої, пов’язаної з нею ознаки. Так, чистий прибуток підприємства залежить не тільки від витрат на виробництво продукції і ціни на неї, але і від обсягів виробництва, можливості збуту виробленої продукції, її якісних показників тощо. Тому розглянутий зв’язок не може бути функціональним. Якщо числовому значенню деякого фактора х відповідає не конкретна величина, а групова середня результативного показника у , то таку залежність називають кореляційною.

Кореляційний зв’язок є не точна, а ймовірносна залежність однієї ознаки від іншої. Цей зв’язок має різну степінь точності, від повної незалежності до функціональної залежності.

Розділ 16.2. Метод найменших квадратів (загальні поняття)

Будь-які випадкові величини можуть бути пов’язані функціональною залежністю, що буває досить рідко, або залежністю іншого роду, яку називають статистичною, або будуть незалежними.

Означення: Статистичною називається залежність, при якій зміна однієї з величин веде до зміни розподілу іншої. Якщо зміна однієї з величин веде до зміни середнього значення іншої, тоді статистична залежність називається кореляційною.

При вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів та спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення x_i і відповідні їм значення y_i ( i=1,2,…,n ), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень.

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки M_i( x_i, y_i ), координати яких відповідають даним таблиці.

Тепер виникає необхідність вибору відповідної функції y=f(x), яка б описувала зв'язок між x і y. Таку функцію називають емпіричною. В загальному випадку вибір емпіричної функції не є однозначним. Можна знайти лінію, яка б проходила через кожну з точок M_i , це може бути так званий інтерполяційний багаточлен (на рис. 1 це пунктирна лінія), порядок якого буде досить високим (на одиницю меншим, ніж кількість точок в таблиці). Крім того, дані таблиці можуть бути не досить точними внаслідок наявності похибок вимірювання, а також впливу інших факторів, які ми не завжди можемо врахувати. Тому дослідники віддають перевагу більш простим і зручнішим функціям, таким, як лінійна , квадратична , показникові , гіперболічна і ін. Обрана функція повинна "найкращим" чином згладжувати експериментальні дані. В залежності від того, як вводиться поняття "найкраще згладжування" встановлюється той або інший метод вибору емпіричної залежності (на рис. 1 – суцільна лінія). Найбільш часто застосовується так званий метод найменших квадратів , який дозволяє знаходити параметри обраної залежності

Позначимо через відхилення емпіричної функції в точці від відповідного табличного (експериментального) значення . Зрозуміло (див. рис. 1 ), що можуть бути для одних додатніми, а для інших від'ємними. Тому їх сума може навіть дорівнювати нулю. Краще було б брати суму їх абсолютних величин але досліджувати суму, яка містить модулі величин складніше, ніж суму квадратів цих величин. Тому зупиняються на останньому

, (16.1)

де - теоретичне значення функції; - статистичне значення функції.

Параметри функції обирають так, щоб сума квадратів S приймала найменше значення.