Рішення

Подія А – серед 6 взятих деталей 4 стандартні.

Задачі до розділу 1.4

Задача 1.4.1

У відділі працює 6 чоловіків і 4 жінки, за табельними номерами навмання відібрано 7 людей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних будуть 3 жінки.

Рішення

Загальне число можливих елементарних результатів випробувань дорівнює числу способів, якими можна з загальної кількості чоловік (10) обрати 7, тобто - кількості сполучень з 7 по 10. Підрахуємо число результатів, що сприятимуть події „серед обраних три жінки”: обрати 3 жінки з 4 можна способами, при цьому ті, що лишилися 10 – 4 = 6, повинні бути чоловіками, з яких буде обрано 7 – 3 = 4, яких можна обрати = способами. Відповідно число сприятливих випадків дорівнює .

Шукана ймовірність дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до загальної кількості випадків:

.

Задача 1.4.2

В ящику 5 стандартних і 3 браковані деталі. Навмання витягли 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед них буде 3 стандартні і 1 бракована деталь.

Рішення

Подія А – серед чотирьох вилучених деталей три стандартні і одна бракована.

Задача 1.4.3

В коробці 15 калькуляторів, серед яких 10 інженерних. Службовець навмання обирає 3 калькулятора. Знайти ймовірність того, що обрані калькулятори будуть інженерними.

Задача 1.4.4

В групі 11 студентів, серед яких 6 навчаються на „відмінно” і „добре”. За списком обрано 8 студентів. Знайти ймовірність того, що серед обраних студентів 5 навчаються на „відмінно” і „добре”.

Задача 1.4.5

В партії з 50 деталей, 47 стандартних. Навмання обрано 43 деталі. Знайти ймовірність того, що серед обраних деталей 45 стандартних.

Розділ 1.5. Статистична ймовірність

Класичне визначення ймовірності передбачає, що число подій є скінченим числом, що в реальному житті не завжди відповідає дійсності. У таких випадках застосування класичного означення появи події є неможливим. Тому поряд з класичним визначенням появи події використовують також статистичне визначення ймовірності, коли за ймовірність події приймають відносну частоту або число, що є близьким до неї.

Означення: Відносною частотою події називається відношення числа випробувань, в яких подія вже відбулася, до загального числа фактично зроблених випробувань.

Таким чином, відносна частота події А визначається за формулою

, (1.6)

де - число появи події; - загальне число випробувань.

Співставляючи визначення ймовірності і відносної частоти можна зробити висновок: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування дійсно відбулися; визначення віцдносної частоти припускає, що випробування дійсно вже відбулися. Іншими словами, ймовірність обчисляють до проведення досліду, а відносну частоту після його проведення.

Тривалі спостереження показали, що якщо досліди проводяться у однорідних умовах, в кожному з яких число випробувань достатньо велике, тоді відносна частота виявляє властивість сталості. Ця властивість полягає у тому, що у різних дослідах відносна частота змінюється у незначній мірі і тим меше, чим більше зроблено випробувань, коливаючись біля деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірністю появи події. Таким чином, якщо дослідним шляхом встановлена відносна частота, то одержане число можна вважати за наближене значення ймовірності.

Приклад:

1. При киданні монети 4040 раз, число появи „герба” дорівнює 2048, а відносна частота – 0,5069. При киданні монети 12000 раз, число появи „герба” дорівнює 6019, а відносна частота – 0,5016. При киданні монети 24000 раз, число появи „герба” дорівнює 12012, а відносна частота – 0,5005. Як видно з наведених даних, чим більша кількість випробувань, тим ближче значення відносної частоти до ймовірності випадання „герба” при одному киданні монети, яке дорівнює за класичним означенням 0,5.

2. За даними шведської статистикивідносна частота народження дівчинок за 1935 рік за місяцями характеризується наступними числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Відносна частота коливається біля числа 0,482, яке можна прийняти за наближене значення ймовірності народження дівчинок. Зауважимо, що статистичні дані різних країн дають приблизно такі ж значення відносної частоти.