Розділ 15.2. Критична область. Область приняття нульової гіпотези. Критична точка

Після вибору необхідного критерія, множину всіх його можливих значень розбивають на дві підмножини: одну, що вміщує значення критерія та другу, що його не вміщує.

Означення: Критичною областю називається сукупність значень критерія, при яких нульову гіпотезу відкидають. Областю прийняття нульової гіпотези (областю припустимих значень) називається сукупність значень критерія, при яких гіпотезу приймають. Критичними точками (границями) називаються точки, що відділяють критичну область від області прийняття гіпотези.

Розрізняють односторонню (односторонню і правосторонню) та двосторонню критичні області.

Означення: Правосторонньою називається критична область, що визначається нерівністю , де - додатнє число. Лівосторонньою називається критична область, що визначається нерівністю , де - додатнє число. Двосторонньою називається критична область, що визначається нерівностями , де .

Якщо критичні точки симетричні відносно нуля, то двосторонню критичну область можна задати нерівністю .

Відшукування правосторонньої критичної області

Для знаходження правосторонньої критичної області необхідно знайти критичну точку. Для цього задаються достатньо малою ймовірністю – рівнем значущості і шукають критичну точку , виходячи з вимоги, що при умові справедливості нульової гіпотези ймовірність того, що повинна дорівнювати прийнятому рівню значущості

.

Для кожного критерія існують відповідні таблиці, за якими знаходять критичну точку, що задовольняє цій умові. Якщо критичну точку вже знайдено, тоді за даними вибірки обчислюють спостережувальне значення критерію. Якщо , тоді нульову гіпотезу відкидають. Якщо , тоді немає підстав відкинути нульову гіпотезу.

Відшукування лівосторонньої критичної області

Для знаходження лівосторонньої критичної області необхідно знайти критичну точку. Для цього задаються достатньо малою ймовірністю – рівнем значущості і шукають критичну точку , виходячи з вимоги того, що при умові справедливості нульової гіпотези ймовірність того, що повинна дорівнювати прийнятому рівню значущості

.

Відшукування двосторонньої критичної області

Двосторонню критичну область знаходять виходячи з умови, що при справедливості нульової гіпотези сума ймовірностей того, що критерій прийме значення менше або більше , буде дорівнювати прийнятому рівню значущості

.

Якщо критичні точки є симетричними, тоді

Розділ 15.3. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох генеральних сукупностей

На практиці задача порівняння дисперсій виникає, якщо необхідно порівняти точність приладів, інструментів, методів вимірювань і т.п. Зрозуміло, що більш точним є пристрій, що забезпечує найменше розсіювання результатів вимірювань, тобто найменшу дисперсію.

Нехай генеральні сукупності Х і У розподілені нормально. За незалежними вибірками обсягів і , що вилучені із цих генеральних сукупностей, знайдено виправлені вибіркові дисперсії і . Необхідно за виправленими дисперсіями, при заданому рівні значущості , перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій розглянутих сукупностей

. (15.1)

За критерій перевірки нульової гіпотези (15.1) про рівність генеральних дисперсій, візьмемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої, тобто випадкову величину

. (15.2)

Випадкова величина має розподіл Фішера-Снедекора із степенями свободи і , де - обсяг вибірки, за якою обчислена більша виправлена дисперсія, - обсяг вибірки, за якою обчислена менша виправлена дисперсія.

Методика перевірки нульової гіпотези при конкуруючий гіпотезі

Для того, щоб при заданому рівні значущості, перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей, при конкуруючий гіпотезі , необхідно обчислити спостережувальне значення критерія і за таблицями критичних точок розподілу Фішера-Снедекора, за заданим рівнем значущості і числом степеней свободи і , - число степеней свободи більшої дисперсії, знайти критичну точку . Якщо , тоді немає підстав відкидати нульову гіпотезу. Якщо , тоді нульову гіпотезу відкидаємо.

Приклад:

За двома незалежними вибірками обсягів і , вилучених із нормальних генеральних сукупностей Х і У, знайдено виправлені вибіркові дисперсії і . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючий гіпотезі .

Рішення

Обчислимо спостережувальне значення критерія

.

За таблицею критичних точок Фішера-Снедекора за заданим рівнем значущості і числом степеней свободи і , знайдемо критичну точку

.

Якщо , тоді немає підстав відкидати нульову гіпотезу.

Методика перевірки нульової гіпотези при конкуруючий гіпотезі

Для того, щоб при заданому рівні значущості, перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей, при конкуруючій гіпотезі , необхідно обчислити спостережувальне значення критерія і за таблицями критичних точок розподілу Фішера-Снедекора, за заданим рівнем значущості і числом степеней свободи і , - число степеней свободи більшої дисперсії, знайти критичну точку . Якщо , тоді немає підстав відкидати нульову гіпотезу. Якщо , тоді нульову гіпотезу відкидаємо.

Приклад:

За двома незалежними вибірками обсягів і , вилучених з нормальних генеральних сукупностей Х і У, знайдено виправлені вибіркові дисперсії і . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючій гіпотезі .

Рішення

Обчислимо спостережувальне значення критерія

.

За таблицею критичних точок Фішера-Снедекора за заданим рівнем значущості і числом степеней свободи і , знайдемо критичну точку

.

Якщо , тоді немає підстав відкидати нульову гіпотезу.