Розділ 13.3. Мода варіаційного ряду

Означення: Модою варіаційного ряду називається варіанта, що найбільш часто зустрічається, тобто має найбільшу частоту.

Як видно з означення, при дискретному розподілі знаходження значення моди не потребує будь-яких складних обчислень. Із статистичного розподілу обирається найбільша частота і варіанта, яка їй відповідає і є модою.

Для неперервного розподілу мода обчислюється за формулою

(13.3)

де - початкове значення модального інтервалу; - довжина модального інтервалу (шаг); - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, який знаходиться перед модальним; - частота інтервалу, який знаходиться після модального.

Приклад:

Для попереднього прикладу про розподіл 49 промислових підприємств за швидкістю обігових коштів, знайти моду даного розподілу.

Рішення

За формулою (13.3) обчислимо моду статистичного ряду. Оскільки , то інтервал (40 – 50) є модальним.

Ляпунов Олександр Михайлович (6.06.1857 – 3.11.1918 рр.) – російський математик і механік, професор, академік. Зробив важливий внесок до теорії ймовірностей, дав просте і строге доведення центральної граничної теореми у більш загальній формі, для цього розробив оригінальний метод характеристичних функцій, який широко застосовується у сучасній теорії ймовірностей.

Розділ 13.4. Асиметрія і ексцес

Для введення таких числових характеристик, як асиметрія і ексцес, необхідно спочатку ввести поняття моментів варіаційного ряду.

Моменти варіаційного ряду

Означення: Початковим моментом варіаційного ряду порядку називається середня арифметична -ї степені варіант, тобто

. (13.4)

При , одержимо початковий момент нульового порядку

При , одержимо початковий момент першого порядку, який є середнім арифметичним.

Означення: Центральним моментом статистичного ряду порядку називається середнє арифметичне -тих степеней відхилень варіант від їх середніх

. (13.5)

При , одержимо отримаємо центральний момент нульового порядку

При , одержимо центральний момент першого порядку

При , одержимо центральний момент другого порядку, який є дисперсією

Асиметрія і ексцес

Означення: Коефіцієнтом асиметрії А називається відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення

. (13.6)

Якщо у варіаційному ряді більше варіант таких, що , тоді коефіцієнт асиметрії додатній, та має місце правостороння асиметрія. Якщо ж , тоді має місце лівостороння асиметрія.

Означення: Ексцесом або коефіцієнтом крутості Е називається зменшене на три одиниці відношення центрального моменту четвертого порядку до четвертої степені середнього квадратичного відхилення

. (13.7)

Якщо , тоді криві менш круті і називаються плоско вершинними, якщо - більш круті, мають більш гостру вершину і називаються гостро вершинними.

Приклад:

Для попереднього прикладу про розподіл 49 промислових підприємств за швидкістю обігових коштів, знайти асиметрію і ексцес.

Рішення

Для знаходження асиметрії і ексцесу складемо розрахункову таблицю

№п/п	-
1	2	3	4	5	6	7	8
2	20 – 30	8	25	200	2699,66	-49592,75	911018,82
3	30 – 40	11	35	385	770,63	-6450,17	53987,92
4	40 – 50	16	45	720	42,51	69,29	112,94
5	50 – 60	9	55	495	1217,31	14157,32	164649,63
6	60 - 70	5	65	325	2339,28	50598,63	1094448,37
7		49		2125	7069,39	8782,32	2224217,68

Обсяг генеральної сукупності , тоді за формулою (12.2) заняття 12 знайдемо середню арифметичну

Тоді за формулою (12.4) і (12.5) заняття 12 знайдемо дисперсію і середнє квадратичне відхилення

.

За формулою (13.6) знайдемо асиметрію

За формулою (13.7) знайдемо ексцес