Рішення
Обсяг
генеральної
сукупності
,
тоді за
формулою (12.2)
знайдемо
середню арифметичну
За формулою (12.4) знайдемо дисперсію
Як видно з означення, дисперсія характеризує відхилення від середньої у квадратних одиницях, що при розв’язанні задач змістовного характеру є незручним, тому вводять ще одну числову характеристику, яка характеризує розсіювання – середнє квадратичне відхилення.
Означення: Середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний із дисперсії
(12.5)
Розділ 12.3. Формула для обчислення дисперсії. Властивості дисперсії
Як видно з попереднього розділу, обчислення дисперсії за означенням є досить громіздким, тому існує більш простий спосіб її обчислення.
Теорема: Дисперсія дорівнює середньому квадратів значень ознаки мінус квадрат загальної середньої.
.
(12.6)
Доведення
Позначимо
, (12.7)
і враховуючи,
що
,
тоді
Приклад:
У попередньому прикладі обчислити дисперсію за допомогою теореми і формули (12.6).
Рішення
Для знаходження середнього квадрата ознаки складемо таблицю
-
9
36
64
144
3
5
8
4
Тоді за формулою (12.7)
Враховуючи,
що
,
застосуємо формулу (12.6)
Властивості дисперсії
Властивість1:
Якщо всі варіанти збільшити (зменшити)
в одне й те ж число
раз, тоді дисперсія збільшиться
(зменшиться) в
раз.
Доведення
Якщо кожну варіанту
збільшити в
раз, тоді середнє арифметичне також
збільшиться в
раз, тобто якщо
,
тоді
.
Властивість 2: Збільшення або зменшення варіант на одну і ту ж постійну величину не змінює дисперсію.
Доведення
.
Властивість 3: При збільшенні та зменшенні частот в одну й ту ж кількість раз дисперсія не зміниться.
Доведення
.
Задача 12.3.1
Для вибірки задачі 10.3.1 заняття 10 знайти вибіркову середню, дисперсію (за означенням і теоремою) та середнє квадратичне відхилення.
Рішення
Використаємо статистичний розподіл задачі 10.3.1 розділу 10 та складемо розрахункову таблицю.
№ п/п |
хі |
пі |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1. |
2 |
12 |
24 |
-1,38 |
1,9044 |
22,8528 |
48 |
2. |
3 |
21 |
63 |
-0,38 |
0,1444 |
3,0324 |
189 |
3. |
4 |
24 |
96 |
0,62 |
0,3844 |
9,2256 |
384 |
4. |
5 |
6 |
30 |
1,62 |
2,6244 |
15,7464 |
150 |
5. |
|
63 |
217 |
|
|
50,8572 |
771 |
За формулою (12.2) і четвертим стовпцем таблиці знайдемо вибіркову середню (середнє значення оцінки за іспит)
Знайдемо дисперсію за означенням, використовуючи формулу (12.4) і 5-7 стовпці таблиці
Для знаходження дисперсії за теоремою, спочатку знайдемо середню квадрата за допомогою формули (12.7) і восьмого стовпця таблиці
.