Розділ 1.3. Елементи комбінаторики

Означення: Різні підмножини, що утворені із будь-яких елементів і відрізняються одна від одної або самими елементами, або порядком їх розташування, називаються сполуками або комбінаціями.

Комбінації бувають трьох видів: розміщення, перестановки і сполучення. Область математики, у якій вивчаються питання про кількість комбінацій, що можна скласти із заданих елементів будь-якої природи, називається комбінаторикою.

Розміщення

Означення: Розміщенням із п елементів по т називаються такі комбінації, які містять по т елементів, взятих із даних п елементів, і які відрізняються одна від одної або елементами, або порядком елементів.

Число всіх можливих розміщень із п елементів по т послідовних натуральних чисел, з яких найбільшим є п, визначається за формулою

(1.2)

Приклад:

Набираючи код сейфу бізнесмен забув останні 4 цифри, але пам’ятаючи, що вони всі різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що бізнесмен набере правильно код сейфу з першого разу.

Рішення

Перестановки

Означення: Перестановками називаються комбінації, які складаються з одних й тих п різних елементів та відрізняються тільки порядком їх розміщення.

Число всіх можливих перестановок визначається за формулою:

, (1.3)

де (ен-факторіал) – добуток перших натуральних чисел.

Приклад:

1. Скільки чотирьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 і 4, якщо кожна з цифр входить до числа тільки один раз?

Рішення

.

2. На підприємстві ввели нову АТС. Скільки телефонних номерів можна скласти з шести цифр, які не повторюються?

Рішення

.

Сполучення

Означення: Сполученнями називаються комбінації, які складаються з п різних елементів по т елементах та відрізняються хоча б одним елементом.

Число всіх можливих сполучень визначається за формулою:

. (1.4)

Приклад:

Кількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, що містить 10 деталей?

Рішення

За формулою (1.4)

Розділ 1.4. Знаходження ймовірності появи події з застосуванням елементів комбінаторики

Задача:

Нехай маємо множину із п елементів, які мають властивість рівноможливості випадкового вибору кожного з них. Нехай серед цих заданих п елементів маємо т (т п), які мають задану ознаку ( наприклад, номер, колір, якість, тощо). Випадково здійснюється вибір k елементів (k п). Знайти ймовірність того, що серед обраних k елементів буде l елементів (l ) і які мають задану ознаку. Тоді ймовірність цієї події визначається за формулою:

(1.5)

Наприклад:

В партії з 10 деталей знаходиться 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 4 стандартні.