Розділ 11.2. Емпірична функція розподілу

Нехай відомий статистичний розподіл величини Х. п_х – число спостережень, при яких спостерігалося значення Х<x, n – загальне число спостережень (обсяг вибірки). Відносна частота події Х<x дорівнює . Якщо змінюється х , тоді змінюється і відносна частота, тобто відносна частота є функцією від х. Оскільки ця функція знаходиться емпіричним (експериментальним) шляхом, то її називають емпіричною.

Означення: Емпіричною функцією розподілу називають функцію F^*(x), яка визначає для кожного значення х відносну частоту події Х<x.

, (11.1)

де п_х – число варіант, менших за х; п – обсяг вибірки.

Властивості емпіричної функції

1. Значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1]

F^*(x )є [0; 1].

2. Емпірична функція F^*(x) є неспадною функцією.

3. Якщо х₁ – найменша варіанта, тоді F^*(x)=0 при х<x₁; якщо х_k - найбільша варіанта, тоді F^*(x)=1 при х>x_k .

Приклад:

Побудувати емпіричну функцію за даним розподілом вибірки

	2	6	10
	12	18	30

Рішення

Знайдемо обсяг вибірки п=12+18+30=60.

1. Так як x_min = 2, тоді за властивістю 2: F^*(x)=0 при х<2.

2. Для х<6, х₁=2, п₁=12,тоді при .

3. Для х<10, х₁=2, х₂=6, п₂=12+18=30, тоді при .

5. Оскільки x_max = 10, тоді за властивістю 2 F^*(x)=1 при х>10;

Тоді шукана емпірична функція має вигляд:

Побудуємо графік емпіричної функції

11.3. Графічна інтерпретація статистичного ряду

Для наочності будують різні графічні зображення статистичного розподілу, зокрема полігон і гістограму.

Означення: Полігоном частот (відносних частот) називається ламана, відрізки якої з’єднують точки з координатами (х₁,п₁), (х₂,п₂),...,(х_к,п_к) або (х₁,W₁), (х₂,W₂),...,(х_к,W_к).

Для побудови полігона частот на осі абсцис відкладають варіанти x_i , а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i, або відповідні відносні частоти W_i.

Приклад:

Побудувати полігон відносних частот наступного розподілу

	2	4	6	10
	0,4	0,2	0,1	0,3

Рішення

Означення: Гістограмою частот (відносних частот) називається східчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами яких служать часткові інтервали довжиною h , а висоти дорівнюють відношенню .

Площа гістограми частот дорівнює обсягу вибірки п, а відносних частот – одиниці.

Приклад:

Статистичний розподіл задано таблицею

Частинний Частоти

інтервал

10. 4

15. 6

20. 16

25. 36

30. 24

30-35 10

40. 4

Побудувати гістограму частот даного розподілу.

Рішення

Для побудови гістограми складемо таблицю

Частинний Частоти Середина Висота

інтервал інтервалу стовпця

5-10 4 7,5 0,8

10-15 6 12,5 1,2

15-20 16 17,5 3,2

20-25 36 22,5 7,2

25-30 24 27,5 4,8

30-35 10 32,5 2,0

35-40 4 37,5 0,8

Задача 11.3.1

Дано вибірку даних про складання іспиту з дисципліни „Вища математика” студентам спеціальності „Економіка підприємства”

2 3 3 2 5 4 4 2 5 4 3 2

5 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2

2 3 4 5 4 3 5 4 3 5 4 3

2 4 3 2 3 4 3 3 4 3 4 4

4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 3

3 4 4

Для даної вибірки:

1. Скласти варіаційний ряд та статистичний розподіл.

2. Знайти емпіричну функцію та побудувати її графік.

3. Побудувати полігон відносних частот.

4. Побудувати гістограму відносних частот.

Рішення

1. Для складання варіаційного ряду знайдемо найбільше і найменше значення функції та розмах

Оскільки розмах невеликий або розмах досить великий, але багато однакових варіант, то будемо складати дискретний розподіл. Для цього складемо варіаційний ряд (розташуємо кожну варіанту в порядку зростання) і підрахуємо для кожної варіанти відповідні частоти (кількість відповідних варіант). Одержані результати занесемо до таблиці (стовпчики 2 і 3 таблиці).

№ п/п	Варіанта хі	Частота пі	Відносна частота	Накопичена відносна частота	Висота гістограми
1	2	3	4	5	6
1.	2	12	0,19	0,19	0,19
2.	3	21	0,33	0,52	0,33
3.	4	24	0,38	0,90	0,38
4.	5	6	0,10	1,00	0,10
5.		63	1,00

Обсяг вибірки п=63.

2. Знайдемо емпіричну функцію розподілу

Оскільки x_min = 2, тоді за властивістю 2 емпіричної функції: F^*(x)=0 при х<2.

Для х<3, х₁=2, п₁=12,тоді при .

Для х<4, х₁=2, х₂=3, п₂=12+21=33, тоді при .

Для х<5, х₁=2, х₂=3,х₃=4 п₂=12+21+24=57, тоді при .

Оскільки x_max = 5, тоді за властивістю 2 емпіричної функції: F^*(x)=1 при х>5.

Тоді шукана емпірична функція має вигляд (дивись стовпчик 5 таблиці)

Побудуємо графік емпіричної функції

3. Побудуємо полігон відносних частот, тобто ламану, що з’єднує точки з координатами

4. Побудуємо гістограму відносних частот, тобто східчасту фігуру з основою (відстань між сусідніми варіантами) і висотою (дивись стовпчик 6 таблиці)

Задача 11.3.2

Дано вибірку даних про вагу студентів спеціальності „Економіка підприємства”

58 63 59 59 67 53 53 69 68 55 67 53

45 73 50 66 59 54 68 58 90 72 51 71

63 55 81 46 44 58 59 61 44 53 74 65

63 62 51 63 67 59 67 65 62 69 81 75

52 70 49 72 60 56 71 52 44 77 47 51

66 72 90 73 56 69 78 63 69 74

Для даної вибірки:

1. Скласти варіаційний ряд, статистичний розподіл.

2. Знайти емпіричну функцію та побудувати її графік.

3. Побудувати полігон відносних частот.

4. Побудувати гістограму відносних частот.

Рішення

1. Для складання варіаційного ряду знайдемо найбільше і найменше значення функції та розмах

Оскільки розмах великий, то будемо складати неперервний розподіл. Для цього за формулою Стерджесса знайдемо кількість інтервалів, на які будемо розбивати розмах:

, (11.2)

де N – кількість інтервалів; п – обсяг вибірки.

Для нашої вибірки п=70 , тому

Довжину інтервалу визначаємо за формулою

. (11.3)

Довжина інтервалу для нашої вибірки (округлення бажано робити до цілого парного числа).

Після цього складемо варіаційний ряд (розташуємо кожний інтервал в порядку зростання) і підрахуємо для кожного інтервалу відповідні частоти (кількість відповідних варіант, причому в інтервал входить варіанта, що стоїть на початку інтервалу і не входить та, що стоїть у кінці). Одержані результати занесемо до таблиці (стовпчики 2 і 3 таблиці).

№ п/п	Інтервал хі – хі+1	Частота пі	Середина інтервалу хі*	Відносна частота	Накопичена відносна частота	Висота гістогра-ми
1	2	3	4	5	6	7
1.	44 - 50	7	47	0,10	0,10	0,017
2.	50 - 56	13	53	0,19	0,29	0,032
3.	56 - 62	12	59	0,17	0,46	0,028
4.	62 - 68	15	65	0,21	0,67	0,035
5.	68 - 74	14	71	0,20	0,87	0,033
6.	74 - 80	5	77	0,07	0,94	0,012
7.	80 - 86	2	83	0,03	0,97	0,005
8.	86 - 92	2	89	0,03	1,00	0,005
9.		70		1,00

Обсяг вибірки п=70.

2. Знайдемо емпіричну функцію розподілу.

Оскільки x_min = 44, тоді за властивістю 2 емпіричної функції: F^*(x)=0 при х<44.

Для х<50, х₁=[44; 50), п₁=7,тоді при .

Для х<56, х₁=[44;50), х₂=[50;56), п₂=7+13=20, тоді при .

Для х<62, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62) п₃=7+13+12=32, тоді при .

Для х<68, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62), х₄=[62;68) п₄=7+13+12+15=47, тоді при .

Для х<74, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62), х₄=[62;68), х₅=[68;74) п₅=7+13+12+15+14=61, тоді при .

Для х<80, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62), х₄=[62;68), х₅=[68;74), х₆=[74;80) п₆=7+13+12+15+14+5=66, тоді при .

Для х<86, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62), х₄=[62;68), х₅=[68;74), х₆=[74;80), х₇=[80;86) п₇=7+13+12+15+14+5+2=68, тоді при .

Для х<92, х₁=[44;50), х₂=[50;56), х₃=[56;62), х₄=[62;68), х₅=[68;74), х₆=[74;80), х₇=[80;86), х₈=[86;92) п₈=7+13+12+15+14+5+2+2=70, тоді при .

Оскільки x_max = 92, тоді за властивістю 2 емпіричної функції: F^*(x)=1 при х>92.

Таким чином, шукана емпірична функція має вигляд (дивись стовпчик 5 таблиці):

Побудуємо графік емпіричної функції

3. Побудуємо полігон відносних частот, тобто ламану, що з’єднує точки з координатами

4. Побудуємо гістограму відносних частот, тобто східчасту фігуру з основою (відстань між сусідніми варіантами) і висотою (дивись стовпчик 6 таблиці)