Числові характеристики рівномірного розподілу

Математичне сподівання

. (10.9)

Дисперсія

. (10.10)

Середнє квадратичне відхилення

Приклад:

Ціна поділки вимірювального пристрою дорівнює 0,5 од. Показники округлюються до ближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відрахуванні буде зроблено похибку, яка перевищує 0,01 од.

Рішення

Похибку при округленні відрахування можна розглядати як випадкову величину Х, яка має рівномірний розподіл в інтервалі між двома цілими сусідніми поділками. Довжина інтервалу за умовою задачі дорівнює 0,5 , тому за формулою (10.7)

Зрозуміло, що похибка відрахування перевищить 0,01, якщо вона буде попадати в інтервал . За формулою (8.6) заняття 8 знайдемо ймовірність того, що при відрахуванні буде зроблено похибку, яка перевищує 0,01 од.

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Означення: Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, який описується диференціальною функцією.

. (10.11)

Як видно з запису диференціальної функції, нормальний розподіл визначається двома параметрами: математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням .

Означення: Нормальний розподіл з параметрами і називається нормованим, його щільність (диференціальна функція) дорівнює

(10.12)

Графік диференціальної функції нормального розподілу для різних значень наведено на рисунку 10.1. Крива на малюнку носить назву кривої Гауса.

Рис.10.1. Графік диференціальної функції нормального розподілу

Інтегральна функція нормального розподілу згідно формули (8.7) заняття 8 буде мати вигляд

. (10.13)

Оскільки ця функція є парною, то невизначений інтеграл від неї є непарною функцією і тому, замість інтегральної функції (13) можна використати функцію Лапласа.

(10.14)

Ймовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової

величини

Ймовірність того, що випадкова величина Х , що задана диференціальною функцією , буде приймати значення, що належать інтервалу

.

Якщо ж ця випадкова величина має нормальний розподіл, тобто

,

тоді

.

Зробимо заміну , тоді і . Знайдемо нові межі інтегрування

Використовуючи формулу (10.14) маємо

. (10.15)

Нагадаємо, що функція Лапласа є непарною ( ) і її значення знаходяться за розрахованими таблицями.

Приклад:

Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють 25 і 15. Знайти ймовірність того, що Х прийме такі значення, що:

а) належать інтервалу ;

б) більше 40;

в) менше 10.

Рішення

За формулою (10.15) визначаємо ймовірність попадання випадкової величини у заданий інтервал

а)

.

б)

в)