Геометричний розподіл.

Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р , а . Випробування закінчуються як тільки з’явиться подія А. Таким чином, якщо подія А з’явиться у -му випробуванні, то у попередніх випробуваннях вона не з’явиться.

Позначимо через Х дискретну випадкову величину – числа випробувань, які треба провести до першої появи події А. Нехай в перших випробуваннях подія А не наступила, а в -му випробуванні з’явилася. Ймовірність цієї складної події за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює

, (10.5)

Як видно, формула (10.5) є геометричною прогресією з першим членом , знаменником

Тому розподіл, при якому ймовірність появи події А задається формулою (10.5), називається геометричною.

Приклад:

Робітник виготовляє вироб до першого бракованого. Ймовірність виготовлення бракованого виробу 0,2. Знайти ймовірність того, що бракований вироб буде третім.

Рішення

За формулою (10.5) знайдемо ймовірність влучення при третьому пострілі

Задачі до розділу 10.1

Задача 10.1.1

Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба” при двох киданнях монети. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Задача 10.1.2

Дві гральні кості одночасно кидають два рази. Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадання парної кількості очок на двох гральних костях. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Задача 10.1.3

Після відповіді студента на питання екзаменаційного білету екзаменатор задає студенту додаткові питання. Екзаменатор припиняє задавати додаткові питання, як тільки студент не знає заданого питання. Ймовірність того, що студент відповість на будь-яке задане додаткове питання, дорівнює 0,8. Необхідно скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа додаткових питань, які задасть викладач студенту та знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Задача 10.1.4

В партії із 10 деталей є 7 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі. Записати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розділ 10.2. Закони розподілу неперервних випадкових величин Закон рівномірного розподілу ймовірностей.

Означення: Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення випадкової величини, диференціальна функція має стале значення

(10.6)

Приклад:

Шкала вимірювального пристрою поділена в деяких одиницях. Помилку при округленні відрахування до найближчої цілої поділки можна розглядати як випадкову величину Х, яка може приймати із сталою щільністю ймовірності будь-яке значення між двома сусідніми цілими поділками.

Диференціальна функція рівномірного розподілу

Знайдемо диференціальну функцію рівномірного розподілу, вважаючи, що всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу , на якому диференціальна функція зберігає стале значення .