Задачі до розділу 8.2

Задача 8.2.1

Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти щільність (диференціальну функцію) розподілу f(x).

Рішення

Щільність розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу

Задача 8.2.2

Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти щільність (диференціальну функцію) розподілу f(x).

Задача 8.2.3

Неперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу

в інтервалі , за межами цього інтервалу . Знайти ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу .

Задача 8.2.4

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти функцію розподілу F(x).

Рішення

Для знаходження функції розподілу використаємо формулу (8.8)

.

Якщо тоді .

.

Якщо , тоді .

Якщо , тоді

.

Таким чином, шукана інтегральна функція має вигляд

Задача 8.2.5

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти функцію розподілу F(x).

Задача 8.2.6

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти функцію розподілу F(x).

Задача 8.2.7

Дано щільність розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти функцію розподілу F(x).

Розділ 8.3. Завдання до заняття 8

Теоретичні питання до заняття 8

1. Яка функція називається інтегральною функцією розподілу?

2. Сформулювати властивості інтегральної функції розподілу.

3. Що являє собою графік інтегральної функції дискретної випадкової величини?

4. Що являє собою графік інтегральної функції неперервної випадкової величини?

5. Яка функція називається диференціальною функцією розподілу?

6. Сформулювати властивості диференціальної функції розподілу.

7. Як визначити ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона задана інтегральною функцією розподілу.

8. Як визначити ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона задана диференціальною функцією розподілу.

Індивідуальні завдання до заняття 8

Розділ 9.1. Математичне сподівання неперервної випадкової величини

Нехай неперервна випадкова величина Х задана диференціальною

функцією f(х).

Припустимо, що всі значення Х належать відрізку [a,b] . Розіб’ємо цей відрізок на m частин Δх₁, Δх_{2, ..} Δх_n, які не перетинаються і . Виберемо на кожному з елементарних відрізків по одній точці ). Користуючись формулою математичного сподівання для дискретної випадкової величини , запишемо наближене значення математичного сподівання величини

. (9.1)

Суму (9.1) можна розглядати , як інтегральну суму , тому, переходячи до границі при отримаємо формулу математичного сподівання неперервної випадкової величини

.

Означення: Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х , можливі значення якої належать відрізку , називають визначений інтеграл

. (9.2)

Якщо неперервна випадкова величина задана на всій числовій осі , тобто , тоді

. (9.3)