Розділ 8.1. Функція розподілу (інтегральна функція) та її властивості

Як відомо із заняття 6 неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку, тому задати її закон розподілу за допомогою таблиці неможливо.

Таким чином для описання неперервної випадкової величини необхідно припустити, що відома ймовірність попадання Х у довільний інтервал або відома функція розподілу ймовірностей.

Означення: Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу) випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше від фіксованого дійсного числа х, тобто

. (8.1)

Геометрична інтерпретація функції розподілу полягає у наступному. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку на осі Ох (рис. 1), яка за результатом випробування може зайняти те чи інше положення на цій осі, то функція є ймовірність того, що випадкова точка Х у результаті випробування попадає лівіше х.

Рис.1. Геометрична інтерпретація всіх можливих значень функції розподілу.

Неперервна випадкова величина має неперервну функцію розподілу, графік якої має форму плавної кривої (рис. 2).

Рис.2. Геометрична інтерпретація функції розподілу неперервної випадкової величини.

Розглянемо загальні властивості функції розподілу.

Властивість 1: Функція розподілу F(x) є невід’ємною величиною, яка міститься між нулем і одиницею

.

Дійсно, це випливає з означення інтегральної функції як ймовірності і властивості ймовірності.

Властивість 2: Функція розподілу F(x) є неспадною функцією, тобто , якщо .

Доведення

Нехай . Подія, яка полягає в тому, що випадкова величина Х приймає значення менше за , складається з двох подій:

1. або Х прийме значення менше х₁ і ;

2. або Х прийме значення з проміжку і .

Тоді за теоремою додавання ймовірностей маємо

,

або

. (8.2)

Із формули (8.2) випливає

, бо .

Наслідок 1: Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення із проміжку , дорівнює приросту функції на цьому проміжку, тобто

. (8.3)

Приклад:

Випадкова величина задана інтегральною функцією

Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з проміжку [-2,0).

Рішення

За формулою (8.3) маємо

,

тобто

Наслідок 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме певне значення дорівнює нулю.

Доведення

Підставимо у формулу (8.3) , , тоді

.

Нехай . Оскільки Х - неперервна випадкова величина, то функція теж неперервна, внаслідок цього маємо, що приріст в точці , тобто , а значить

. (8.4)

Підкреслимо, що формула (8.4) теж тільки для неперервних випадкових величин, на відміну від дискретних.

Враховуючи формулу (8.4), можна записати

.

Наприклад:

.

Властивість 3: На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а на плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці, тобто

; .

Зауваження: Сформульоване означення функції розподілу підходить і для дискретної випадкової величини.

Приклад:

Скласти функцію розподілу ймовірностей випадкової величини - числа виготовлених деталей двома верстатами, які по черзі постачають деталі на конвейєр, при умові що необхідно виготовити 1 стандартну деталь, якщо ймовірності виготовлення стандартної деталі для кожного з них відповідно дорівнюють 0,85 і 0,90.

Рішення

Для даного прикладу всі можливі значення випадкової величини Х: {0,1,2}. Позначимо через і випадкові події виготовлення стандартної деталі кожним верстатом з ймовірностями і , а через і - протилежні події (виготовлення бракованої деталі), ймовірності яких відповідно і . Знайдемо ймовірність появи випадкової величини Х.

Тобто,

При - всі браковані,

При - одна стандартна деталь

При - дві стандартні деталі,

Складемо розподіл випадкової величини Х

Х	0	1	2
Р	0,015	0,220	0,765

За даними таблиці знаходимо функцію розподілу для дискретної випадкової величини

Ця функція є кусково-неперервною з точками розриву при всіх Значення F(x) знаходиться так. У перший інтервал не попадає жодне із значень Х = 0, 1, 2, тому ймовірність дорівнює 0. Для всіх лівіше знаходиться одне значення Х=0 з ймовірністю 0,015, тому що

Для всіх значень , що у третьому інтервалі, лівіше знаходяться два значення Х=0 і Х=1, тому

.

Для інтегральна функція дорівнює

Графік функції F(x) розподілу дискретної випадкової величини для даного прикладу наведено на рис.3.

Р ис.3. Графік інтегральної функції розподілу дискретної випадкової величини