Розділ 1.2. Класичне означення ймовірності появи події
Ймовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей. Це число, яке характеризує ступінь можливості здійснення події. Кожний з можливих результатів випробування називається елементарним результатом (елементарною подією).
Означення: Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих цій події випадків до загального числа всіх можливих випадків.
,
(1.1)
де т – число елементарних випадків (результатів), які сприяють появі події А; п – число всіх можливих випадків (елементарних результатів випробування).
Приклад:
Підприємство придбало 6 однакових верстатів, причому 2 з них виготовлено першим заводом-постачальником, 3 – другим і 1 – третім. Знайти ймовірність встановлення верстату, що виготовлений: а) третім заводом постачальником (подія А); б) першим заводом-постачальником (подія В).
Рішення
а)
;
б)
.
Властивості ймовірності
Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці.
В
цьому випадку т=п
,
тобто
.
Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
В
цьому випадку т=0
,
тобто
.
3. Ймовірність випадкової події є додатнє число, що знаходиться між нулем і одиницею.
В
цьому випадку
(всі випадки за винятком вірогідного і
неможливого)
,
тобто
.
Задачі до розділу 1.2
Задача 1.2.1
Кидають два кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’явиться кількість очок, сума яких буде менше п’яти.
Рішення
Подія А – на верхніх гранях з’являться числа, сума очок яких менше п’яти. Розглянемо всі можливі варіанти появ очок на першому і другому кубиках, виписавши їх:
1к. 2к. 1к. 2к. 1к. 2к. 1к. 2к. 1к. 2к. 1к. 2к.
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3
1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4
1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
На кожному з кубиків може випасти шість різних варіантів, а кількість кубиків два, тому всіх можливих випадків n = 62 = 36.
Розглянувши всі можливі варіанти оберемо сприятливі, їх буде m=6.
За класичним означенням ймовірності:
.
Задача 1.2.2
Кинуто три монети. Знайти ймовірність того, що хоча б на двох монетах з’явиться „герб”.
Рішення
Розглянемо всі можливі варіанти, їх буде п = 23 = 8 (на одній монеті можливі два випадки, всього монет три ).
1 монета Г Г Г ч | ч | | ч| | ч | | ч|
2 монета Г Г ч Г | ч | | ч | | ч| | ч|
3 монета Г ч Г Г | ч | | ч| | ч| | ч|
Поняття „хоча б на двох монетах ” включає, що „герб” з’явиться або на двох з трьох, або на всіх трьох монетах. Тому кількість сприятливих подій буде m = 4. За класичним означенням ймовірності:
;
Задача 1.2.3
Кинуто чотири монети. Знайти ймовірність того, що на трьох з них з’явиться „герб”.
Задача 1.2.4
Кинуто два гральні кубика. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випала, дорівнює восьми, а різниця чотирьом.
Задача 1.2.5
Кинуто три гральні кубика. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’являться тільки непарні числа очок.