Розділ 6.3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та її властивості

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини невідомий, тоді описати випадкову величину можна за допомогою чисел, що носять назву числових характеристик випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне сподівання, яке наближено дорівнює середньому значенню випадкової величини.

Означення: Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків значень випадкової величини на відповідні цим значенням ймовірності

. (6.2)

Нехай проведено n випробувань, у яких випадкова величина Х прийняла значення

х₁ - m₁ раз,

х₂ - m ₂ раз,

.....................

х_k - m_k раз.

Тоді середнє арифметичне значення дорівнює

або

,

де - відносні частоти, а .

Якщо число випробувань велике, тоді відносна частота наближається до ймовірності, тобто тоді середнє арифметичне наближається до математичного сподівання

.

Таким чином, математичне сподівання – це середнє очікуване значення випадкової величини.

Розглянемо основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює сталій величині.

де С=const.

Доведення

Якщо випадкова величина у всіх випробуваннях приймає одне й те ж значення С, то ймовірність такої події дорівнює одиниці. Тоді за означенням потрібно цю величину помножити на одиницю

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

Доведення.

Нехай задано розподіл дискретної випадкової величини Х

Х	х1	х2	...	хn
P	p1	p2	…	pn

Розглянемо розподіл дискретної випадкової величини СХ

СХ	Сх1	Сх2	...	Схn
P	p1	p2	…	pn

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

Перевіримо властивість 3 для окремого випадку. Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Х	х1	х2		Y	y1	y2
Р	р1	р2		P	q1	q2

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності

ХY
P

Тоді математичне сподівання добутку запишеться

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

Доведення

Нехай задано закони розподілу дискретних випадкових величин Х і У.

Х	х1	х2		Y	y1	y2
Р	р1	р2		P	q1	q2

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина X+Y. Для цього до кожного можливого значення Х додамо кожне можливе значення У. Тоді випадкова величина X+Y приймає значення: { }. Позначимо відповідні ймовірності . Тоді математичне сподівання випадкової величини X+Y дорівнює сумі добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності

Доведемо, що .

Подія, яка полягає у тому, що випадкова величина Х приймає значення з ймовірністю , тягне за собою подію, що полягає у тому, що випадкова величина X+Y приймає значення або з ймовірністю і навпаки. Звідси випливає, що .

Аналогічно доводяться твердження

.

Тоді

.