Розділ 6.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень:

х₁, х₂,..., х_n. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її можливих значень, повинні задаватись ймовірності , які відповідають цим можливим значенням.

Означення: Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задавати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно (у вигляді багатокутника розподілу).

Найбільш зручним є табличний спосіб задання

Таблиця 1

Значення випадкової величини Х			...		...
Ймовірність Р			...		...

Таблиця 1 є таблицею розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х₁, х_{2, ...,} х_n є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці

. (6.1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу .

Приклад:

В грошовій лотереї розігрується 1000 білетів. Розігрується один виграш у 100 грн., 10 – по 20 грн., 20 – по 10 грн., 100 – по 1 грн. Випадковою величиною Х є вартість можливого виграшу власника одного лотерейного білета. Скласти закон розподілу випадкової величини Х.

Рішення

Випадкова величина Х може приймати значення: {0, 1, 10, 20, 100}. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти за класичним означенням ймовірності появи події (формула 1.1 заняття 1)

Отже, знаходимо при

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд

Х	0	1	10	20	100
Р	0,869	0,100	0,020	0,010	0,001

Задачі до розділу 6.2

Задача 6.2.1

Партія із 8 виробів вміщує 5 стандартних. Навмання відбирають 3 вироби. Скласти таблицю закону розподілу числа стандартних виробів серед відібраних.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної випадкової величини Х – числа стандартних виробів серед відібраних Х:{0, 1, 2, 3}. За формулою (1.5) заняття 1 знайдемо ймовірності кожного значення дискретної випадкової величини

Зробимо перевірку:

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х набуде вигляду

Х	0	1	2	3
Р

Задача 6.2.2

Пристрій складається з п’яти незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елементу однакова і дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа працюючих елементів.

Рішення

Перелічимо всі можливі значення дискретної випадкової величини Х – числа працюючих елементів Х:{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Оскільки ймовірність відмови кожного елементу однакова, то і ймовірність безперебійної роботи однакова і дорівнює Відповідні ймовірності у законі розподілу знайдемо за формулою Бернуллі (формула 4.1 заняття 4)

Таким чином, закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х набуде вигляду

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,00243	0,02835	0,1323	0,3087	0,36015	0,16807

Задача 6.2.3

Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.

Задача 6.2.4

Ймовірність одержання задатку при заключенні кожного договору дорівнює 0,6. Заключено 8 договори. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількості одержаних задатків .

Задача 6.2.5

У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості справних апаратів серед відібраних.