Розділ 5.2. Формула Пуассона

Нехай виконується п незалежних випробувань в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р. Для визначення ймовірності появи події рівно k раз в цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велике, тоді для визначення ймовірності появи використовують локальну теорему Лапласа. Але ця формула непридатна, якщо ймовірність появи події мала ( ). В цих випадках використовують формулу Пуассона.

Вважаємо, що добуток зберігає постійне значення, тобто . Для доведення формули Пуассона використаємо формулу Бернуллі

Оскільки , тоді

Значить формула Пуассона має вигляд:

. (5.3)

Приклад:

Завод відправив на базу 10000 якісних виробів. Ймовірність того, що на шляху до бази вироб втратить якість дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що на базу прийде 5 неякісних виробів.

Рішення.

За умовою задачі

Тоді

Пуассон Сімеон Дені (21.06.1781 – 25.04.1840 рр.) – французький механік, фізик і математик. Пуассон написав більше 300 праць, значна кількість яких відіграла значну роль у становленні сучасної науки. Він покращив способи застосування теорії ймовірностей взагалі і до питань статистики зокрема, довів теорему, яка стосується закону великих чисел (закон Пуассона), вперше ввівши термін „закон великих чисел”.

Задачі до розділу5.2

Задача 5.2.1

Ймовірність максимального виграшу в лотерею дорівнює 0,0003. Випущено 10000 лотерейних білетів. Знайти ймовірність того, що 4 власника лотерейного білета одержать максимальний виграш.

Рішення.

За умовою задачі

Так як п велике, а р мале, тоді за формулою Пуассона .

Задача 5.2.2

Обчислити ймовірність появи події А рівно 3 рази в 120 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,06.

Задача 5.2.3

Обчислити ймовірність появи події А рівно 3 рази при 70 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,05.

Розділ 5.3. Завдання до заняття 5 Теоретичні питання до заняття 5

1. Сформулювати інтегральну теорему Лапласа.

2. Сформулювати основні правила знаходження функції Лапласа Ф(х).

3. Яка умова використання формули Пуассона?

4. Записати формулу Пуассона і пояснити її складові.

Розділ 6.1. Дискретні і неперервні випадкові величини

Означення: Випадковою величиною називається така величина, яка за результатом досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення (якого саме – заздалегідь невідомо).

Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z і т.п.

Прикладом випадкових величин можуть бути:

1. Кількість стандартних деталей серед 100 виготовлених. Ця величина випадкова і може приймати значення від 0 до 100.

2. Витрати на виробництво продукції.

3. Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.

4. Кількість студентів даного потоку, присутніх на лекції.

5. Відстань транспортування руди в кар’єрі.

Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

Означення: Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення.

До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 3, 4.

Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченою або нескінченою множиною.

Означення: Неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченого або нескінченного проміжку.

До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 2 і 5.

Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна.