Розділ 4.2. Локальна теорема Лапласа

Легко бачити, що в разі великих значень п користуватися формулою Бернуллі достатньо важко. Наприклад, якщо , тоді за формулою (4.1) і необхідно зробити обчислення ,які є досить обтяжливими. Тому існує формула, яка дозволяє наближено знайти ймовірність того, що при п випробуваннях подія А з’явиться рівно раз, якщо число іспитів достатньо велике.

Цю асимптотичну формулу для р=0,5 було знайдено у 1730 році Муавром, а у 1783 році Лаплас узагальнив її для довільної р, відмінної від 0 та 1, тому іноді її називають теоремою Муавра-Лапласа.

Теорема: Якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, тоді ймовірність того, що подія А з’явиться в п випробуваннях рівно k раз, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п) значенню функції

, (4.2)

при .

Існують таблиці, в яких розміщені значення функції , які відповідають додатнім значенням аргументу . Для від’ємних значень аргументу користуються тією ж таблицею, оскільки функція є парною, тобто .

Приклад:

Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться рівно 80 раз у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Рішення

Якщо ж обчислювати ймовірність за формулою Бернуллі, тоді , що майже співпадає з попереднім результатом, тому що п досить велике.

Задачі до розділу 4.2

Задача 4.2.1

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 70 раз у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Рішення

За умовою задачі: Оскільки п досить велике, то за локальною теоремою Лапласа

.

Значить

Задача 4.2.2

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 1400 раз у 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення

За умовою задачі: Оскільки п досить велике, то за локальною теоремою Лапласа

.

При знаходженні значення функції було враховано, що вона є непарною, тобто .

Значить

Задача 4.2.3

Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 немовлят буде рівно 50 хлопчиків.

Задача 4.2.4

Ймовірність одержання бракованої деталі для кожного верстату дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що при роботі на 100 верстатах стандартних деталей буде виготовлено 95.

Розділ 4.3. Завдання до заняття 4 Теоретичні питання до заняття 4

1. Які випробування називаються повторними?

2. Яка умова використання формули Бернуллі?

3. Записати формулу Бернуллі і пояснити її складові.

4. Яка умова використання локальної теореми Лапласа?

5. Сформулювати локальну теорему Лапласа.

6. Сформулювати основні правила знаходження .