Лабораторная работа № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Цель работы:	исследование влияния помех на точность линейной системы автоматического управления.
Оборудование:	Лабораторный стенд СУЛ-3. Осциллограф С1-19 (С1-68).
Продолжительность работы: 4 часа.

Теоретические сведения Случайные функции. Основные понятия и определения

На практике большинство систем автоматического управления (САУ) работает в условиях постоянно действующих случайных полезных и вредных воздействий. Полезным является, например, такое воздействие, как входной (задающий) сигнал следящей системы. К вредным случайным воздействиям относятся различные внутренние и внешние помехи, изменения нагрузки, напряжения сети и т.п. Полезные случайные (и неслучайные) воздействия система управления должна воспроизводить или преобразовывать по заданному закону как можно точнее. Система управления строится таким образом, чтобы вредные случайные воздействия вносили минимальную ошибку в закон преобразования полезного сигнала.

Для анализа поведения системы при случайных воздействиях, в частности при выборе ее параметров, обеспечивающих наибольшую точность работа, необходимо привлекать математический аппарат теории случайных функций.

Случайная функция Χ(t) (или случайный процесс) - такая функция времени, значение которой в каждый конкретный момент времени t является случайной величиной. В результате проведения эксперимента случайная функция принимает вид какой-либо конкретной функции, которая называется реализацией. Бесконечное множество возможных реализаций и обобщается понятием случайной функции. Ордината случайной функции в каждый заданный момент времени случайная величина. Следовательно, случайная функция представляет собой совокупность бесконечного множества случайных величин, поэтому дать полную вероятностную характеристику в виде закона распределения не представляется возможным. В практических задачах обычно ограничиваются неполной характеристикой случайной функции используя понятия: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

Математическим ожиданием случайной функции Χ(t) называется такая неслучайная функция т_х(t), значение которой при·каждом данном значении аргумента t равно математическому ожиданию случайной функции X(t) при этом значении t:

.

Математическое ожидание случайной функции характеризует её среднее значение. Разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием - отклонение случайной функции от ее математического ожидания - называется центрированной случайной функцией:

.

Дисперсией случайной функции X(t) называется математическое ожидание квадрата центрированной случайной функции:

.

Дисперсия случайной функции характеризует разброс возможных реализаций относительно математического ожидания. Она определяет ширину полосы, заполненной возможными реализациями случайной функции. Среднее квадратическое отклонение случайной функции

.

Корреляционная функция случайной функции X(t) есть неслучайная функция двух аргументов, K_x(t,t^′) которая при каждой паре значений t и t^′ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

Полагая, что t=t^′, имеем

,

т.е. в этом случае корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции. Она характеризует степень зависимости между двумя сечениями случайной функции.

Для определения зависимости между двумя случайными Функциями Χ(t) и Y(t) служит взаимная корреляционная функция:

.

Случайные функции, для которых математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от интервала времени τ= t'-t, называются стационарными. Следовательно, для стационарной случайной функции

;

;

.

Поскольку , то для стационарной случайной функции

.

Требование постоянства значения математического ожидания для стационарной случайной функции несущественно, тал как последнюю всегда можно центрировать и получить случайную функцию с . Таким образом, единственным условием стационарности является

.

Существуют случайные процессы, для которых доказана эргодическая теорема: любая статистическая характеристика, полученная усреднением по множеству с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с характеристикой, полученной усреднением по времени.

Иногда данное положение считают очевидным, даже если оно не доказано. Тогда говорят об эргодической гипотезе, которая применяется для многих стационарных процессов. На практике эргодическая гипотеза позволяет получать характеристики случайного процесса всего лишь при одной реализации достаточной продолжительности.

Для эргодических случайных процессов математическое ожидание т_х,·корреляционная функция R_х(τ) и дисперсия D_х определяются выражениями

;

;

.

Для стационарных случайных функций вводится еще одно понятие - спектральная плотность, характеризующая спектральный состав функции. Спектральная плотность есть Фурье-изображение корреляционной функции:

.

Соответственно обратное преобразование Фурье дает возможность найти корреляционную функцию по спектральной плотности:

.

(1)

Дисперсия случайной функции связана со спектральной плотностью выражением

.

(2)

Для двух случайных процессов X(t) и Y(t), как и для корреляционных функций, вводится понятие взаимной спектральной плотности:

;

.

Преобразование стационарного случайного сигнала линейной динамической системой

Пусть на линейную систему, имеющую передаточную функцию W(s), действует стационарный случайный сигнал X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией R_x(τ). На выходе системы сигнал Y(t) будет также случайным с математическим ожиданием m_y(t) и корреляционной функцией в установившемся режиме R_y(τ) Поскольку m_x(t) - неслучайная функция времени, то m_y(t) находим обычным способом для неслучайных сигналов:

,

где

;

.

Определим корреляционную функцию стационарного случайного сигнала на выходе системы:

.

(3)

На основании уравнения свертки имеем

,

(4)

,

(5)

где - весовая функция системы.

Определим стационарный сигнал на выходе, который устанавливается при t→∞. Заменяя верхние пределы в (4) и (5) на ∞ и подставляя в (3), получаем

.

(6)

Из уравнения (6) можно найти корреляционную функцию случайного сигнала на выходе по известной корреляционной функции входного сигнала.

Определим закон преобразования спектральной плотности. Пусть корреляционной функции R_х(τ) соответствует спектральная плотность S_χ(ω). Тогда для спектральной плотности выходного сигнала имеем

.

(7)

Подставляя выражение для R_y(τ) из (6) в (7), получаем

.

Поскольку

;

;

,

то окончательно имеем

.

Дисперсия сигнала на выходе

.

(8)

При вычислении интеграла (8) подынтегральное выражение представляется в виде

,

где

;

.

В общем случае при любом n для устойчивости системы интеграл

может быть представлен в виде

,

(9)

где

;

Расчет линейной САУ при наличии помех

Рассмотрим САУ, на которую действуют одновременно полезный стационарный случайный сигнал g(t) и стационарная помеха N(t) рис.1).

Рис.1. Структурная схема САУ с помехой.

Рассмотрим способ вычисления дисперсии ошибки воспроизведения полезного сигнала g(t) в установившемся режиме D_e.

Ошибкой системы е(t) считают разность между действительной выходной величиной у(t) и желаемой (идеальной), за которую обычно принимают входную величину g(t). Чем точнее отрабатывается системой входная величина, тем качественнее система и меньше её ошибка:

.

Поскольку система линейная, то ошибка e(t) определяется двумя составляющими, обусловленными действием сигналов g(t) и N(t):

.

Дисперсия ошибки определяется как

,

где		-	дисперсия составляющей ошибки от полезного сигнала;
		-	дисперсия составляющей ошибки от сигнала помехи;
		-	взаимный корреляционный момент еg(t) и eN(t).

Считая g(t) и N(t) некоррелированными, получаем

.

(10)

Согласно (8) для составляющих дисперсии имеем

;

(11)

где		-	передаточная функция ошибки от полезного сигнала g(t);
		-	передаточная функция ошибки от помехи N(t).

При известных параметрах объекта, применяя формулу (10), можно вычислить D_е.

В настоящей лабораторной работе требуется определить оптимальное значение одного из параметров системы - постоянной времени T_и интегрирующего элемента модели объекта управления, при которой обеспечивается минимум дисперсии ошибки. Для этого по формуле (10) вычисляется . Оптимальное значение Т_и находят обычным способом из выражения

.

Вычисление дисперсии ошибки исследуемой системы

Получим выражение для дисперсии ошибки системы, исследуемой лабораторной работе. Структурная схема системы приведена на рис.2.

Рис.2. Структурная схема исследуемой САУ с помехой на входа.

Передаточная функция ошибки от полезного сигнала

,

где

;

; .

Искомый параметр Т_u=T₀₂.

Передаточная функция ошибки от помехи

.

Полезный сигнал представляет собой синусоидальный сигнал со случайной фазой

,

у которого фаза распределена по равномерному закону

Составляющая ошибки от полезного сигнала может быть вычислена по формуле (11). Спектральная плотность синусоидального сигнала представляет собой сумму двух δ-функций, расположенных на частотах ω₀ и -ω₀:

.

(13)

Подставляя (13) в выражение (11), получаем

.

На основании фильтрующего свойства δ-функции

получим

.

Рассчитаем составляющую дисперсии ошибки D_eN от помехи N(t).

График спектральной плотности помехи показан на рис.3. Математическое ожидание помехи равно нулю.

Рис.3. Спектр помехи.

Величина S_N0 определяется из выражения

.

Отсюда

.

Верхняя ω_N2 и нижняя ω_N1 частот спектра помехи и среднеквадратичное значение σ_N заданы.

Дисперсия ошибки от помехи согласно (12) составляет

.

Суммарная дисперсия ошибки

.

(14)

Выражение (14) позволяет построить график зависимости дисперсии ошибки от постоянной времени T₀₂, Качественно график показан на рис.4.

Рис.4. График зависимости дисперсии ошибки воспроизведения полезного сигнала от постоянной времени интегрирующего блока.

Как видно из графика, функция D_e(T₀₂) имеет минимум. Определение оптимального значения постоянной времени Т_02опт и является конечной целью исследования в настоящей лабораторной работе. Параметры, входящие в формулу (14), имеют следующие значения:

• ω₀=6с^-1;

• ω_N1= 7,85 с^-1;

• ω_N1=126 с^-1;

• k_пс_п=1 (с_п=1,1);

• k₀с₀=10 (с₀=1);

• с_Nσ_N=13 (с_N=0,15);

• T₀₂=0,01 – 1 c – изменяется в ходе эксперимента.

Экспериментальное определение дисперсии

Рассмотрим способ экспериментального определения дисперсии ошибки, который осуществляется в настоящей лабораторной работе. Сигнал ошибки e(t) пропускается через квадратор, на выходе которого получаем случайный сигнал е²(t). Затем этот сигнал поступает на апериодическое звено с постоянной времени τ. Сигнал на выходе апериодического звена запишется в виде

,

где

-

весовая функция апериодического звена.

Определим предел f(e) при τ→∞:

.

Положив верхний предел равным τ и переобозначив переменную интегрирования, получим

.

Таким образом, если постоянная временя апериодического звена τ→∞, то на его выходе получим значение дисперсии ошибки D_e. Здесь τ играет роль времени наблюдения. Но так как время наблюдения и постоянная времени реально не могут быть бесконечными, то фактически на выходе апериодического звена получим оценку дисперсии:

.

Если выбрать время наблюдения - постоянную времени τ из условия

,

где ω_н - низшая частота спектра случайного сигнала e²(t), то точность вычисления дисперсии составит примерно 2 % что вполне удовлетворительно. За низшую частоту спектра можно принять частоту полезного сигнала ω₀=6с¹. Тогда необходимая постоянная времени апериодического звена τ ≈ 10 с, что и реализовано в лабораторном стенде.