4 Кривые второго порядка

Канонические уравнения:

эллипса ,

гиперболы ,

параболы ;

Эксцентриситеты

эллипса ,

гиперболы

параболы ,

где r и d - расстояния любой точки параболы до фокуса и директрисы соответственно. Уравнение директрисы параболы ; .

5 Построение кривой в полярной системе координат

Полярная система координат задается точкой О (полюсом), выходящим из нее лучом и единицей масштаба. Полярные координаты точки М - два числа ρ и φ, первое из которых ρ (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе φ (полярный угол) - угол, на который нужно повернуть полярный луч против часовой стрелки до совмещения с лучом ОМ.

Обычно считают, что ρ и φ изменяются в пределах

чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было однозначным.

Замечание. В задачах, связанных с перемещением точки по плоскости (в механике), удобнее отказаться от этих ограничений, когда естественно считать, что при вращении точки угол может быть и больше 2π, а при движении точки по прямой, проходящей через полюс, считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак на отрицательный.

Пример. Построить график функции ρ = 2 + 3cos φ.

Построение выполняем поточечное. Выяснив область определения функции ( ), задаемся для начала значениями φ в интервале [0,2π] и вычисляем соответствующие значения ρ: