32

1 Прямая на плоскости

Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Ах + Ву + С=0 (1)

общее уравнение прямой, где А и В - координаты одного из нормальных векторов этой прямой.

(2)

каноническое уравнение прямой, где (х₀,у₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, l и т- координаты направляющего вектора .

xCosa+yCosβ-p = 0 (3)

нормированное уравнение прямой, где Cosa,Cosβ - координаты единичного вектора нормали прямой (он направлен из начала координат к прямой), р - расстояние прямой от начала координат .

Из уравнений (1)-(3) могут быть получены удобные в геометрическом смысле уравнения:

у = кх + b (4)

уравнение с угловым коэффициентом к = tga, α - угол наклона прямой к оси Ох, b - величина отрезка, отсекаемого на оси Оу.

(5)

уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁ ,у₁) и (х₂ ,у₂).

(6)

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х_о ,у_о) в направлении вектора = {1,т).

(7)

уравнение прямой «в отрезках», где а и b величины отрезков отсекаемых прямой на осях ох и оу соответственно.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (1),(2),(3), вполне определяется взаимным расположением векторов с ними связанных, поэтому условия параллельности, ортогональности и угол между прямыми получены из соответствующих условий для векторов. Для прямых, заданных уравнениями вида (4), выпишем эти условия. Если y=k₁х + b₁ и у = к₂х + Ь₂ уравнения этих прямых, то

k₁ =k₂ –условие параллельности, (8)

k₁k₂=-1 –условие перпендикулярности, (9)

-тангенс угла между прямыми (10)

Если дана прямая общим уравнением Aх + Ву + С=О, то его можно нормировать умножением на нормирующий множитель

, (11)

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С из общего уравнения

μАх + μBу + μC = 0

Нормированное уравнение позволяет получить отклонение δ и расстояние d для данной точки М₀(х₀,у₀) от прямой по формуле δ = х₀ cosα + у₀ cosβ - ρ,

. (12)

Пример 1. Найти угол между прямыми

.

Решение.

,

тогда другой угол между прямыми 135°.

Пример 2. Найти проекцию точки М_о(4,9) на прямую, проходящую через точки М₁(3,1) и М₂(5,2).

Решение. Найдем уравнение прямой М₁М₂ по формуле (5)

,

откуда . Ищем уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку М_о в виде (4). Пользуясь условием перпендикулярности к_гк₁ =-1, найдем . Так как координаты М_о должны удовлетворять искомому уравнению, то в уравнение у=-2x+b подставим координаты М_о: 9 =-24+b.

Получим b= 17. Точка пересечения заданной прямой и этого перпендикуляра даст проекцию М_о на данную прямую.

Решим систему:

.

Получим х = 7,у = 3.

Пример 3. Найти расстояние между параллельными прямыми

у=2х-З и у=2х + 5.

Решение. На первой прямой найдем какую-нибудь точку. Пусть х =1, тогда у=-1. Получим точку М_о (1,-1).

Приведем уравнение второй прямой к нормированному виду:

2x-y+5=0, ,

7

- нормированное уравнение. Тогда по формуле (12) получим

(лин.ед.)