§ 9.46 Свободные затухающие колебания

В § 9.45 мы предполагали, что электрическое сопротивление катушки, включенной в контур, равно нулю. Создать идеальный колебательный контур на практике не удается, так как и катушка индуктивности и соединительные провода имеют отличное от нуля активное (омическое) сопротивление R (через R обозначим их суммарное сопротивление). Таким образом, в реальном колебательном контуре (см. рисунок 57) наряду с процессом перехода энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно происходит выделение тепла Джоуля-Ленца на сопротивлении R. Электромагнитные колебания в реальном контуре описываются уравнением (45.1):

q + q + q = 0. (46.1)

Вводя обозначения

= 2, = ₀², (46.2)

перепишем уравнение (46.1)

q + 2q + ₀²q = 0. (46.3)

В уравнении (46.3) величину ₀ называют собственной частотой контура,  - коэффициентом затухания. Так как в схеме, приведенной на рисунке 57, внешние переменные ЭДС Е отсутствуют, а R  0, то уравнение (46.3) описывает свободные затухающие колебания (колебательная система, в которой происходят затухающие колебания, называется диссипативной). При   ₀ решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

q(t) = q₀ cos(t + ), (46.4)

где  = = , (46.5)

q₀ и  - постоянные, определяемые из начальных условий, а величина

А = q₀ (46.6)

 амплитуда затухающих колебаний.

Зависимость (46.4) показана на рисунке 58 сплошной линией, а зависимость (46.6)  штриховыми линиями. Затухающие колебания не имеют определенного значения периода колебаний. Но при малом затухании небольшие интервалы зависимости q(t) можно принять за отрезки соответствующей синусоиды и считать затухающие колебания как гармонические колебания, амплитуда которых непрерывно уменьшается с течением времени по закону q₀ . В этом случае условный период затухающих колебаний равен:

Т = = . (46.7)

С увеличением сопротивления контура R частота  уменьшается, а период колебаний Т увеличивается. Через время Т достигаются максимальные и минимальные значения заряда (а также силы тока и напряжения).

Разделив функцию (46.4) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

U(t) = cos(t + ) = U₀ cos(t + ), (46.8)

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (46.4) по времени

I(t) = q = q₀  cos(t + )  sin(t + ).

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на ₀ ( = ₀), а затем введем угол  по формулам

/₀ = cos, /₀ = sin. (46.9)

После этого выражение для силы тока примет вид

I(t) = q₀ cos(t +  + ). (46.10)

Из (46.9) следует, что угол  лежит во второй четверти (/2    ). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение (46.8) на конденсаторе более чем на /2 (при R=0 опережение составляет  = /2).

Графики зависимостей U(t) и I(t) имеют вид, аналогичный зависимости q(t) (см. рисунок 58).

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации (е  2,72). Из формулы (46.4) легко определить, что

 = 1/. (46.11)

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд заряда (или тока, напряжения), взятых через период колебания Т:

 = = Т = = , (46.12)

где   логарифмический декремент затухания; N_e  число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Логарифмический декремент затухания  постоянная для данной колебательной системы величина.

Если затухание мало (  ₀), то   ₀ = 1/ и согласно (46.12)

   = = = . (46.13)

Для характеристики затухания контуров вводят понятие добротности колебательного контура Q, пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к ее изменению W за период Т:

Q = 2 . (46.14)

Энергия, равная W = W(t)  W(t + T), рассеивается на сопротивлении R за время Т в виде теплоты Джоуля-Ленца. В реальных контурах значение добротности лежит в интервале 50 – 200. Добротность также равна

Q = =  N_e, (46.15)

где  - логарифмический декремент затухания.

Из формулы (46.15) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации. Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (  ₀) согласно (46.13) добротность равна

Q = . (46.16)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания  период затухающих колебаний растет, и при   ₀ вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления R_кр определяется из условия  = ₀ и, подставляя значения  и ₀ из (46.2), имеем

R_кр = . (46.17)

Для получения длительно существующих электрических (также и механических) колебаний большое значение имеют так называемые автоколебательные системы. Автоколебательные системы реальные устройства, сопротивление которых не равно нулю.

В автоколебательных системах незатухающие колебания возникают под влиянием процессов, происходящих внутри системы, и для их поддержания не требуется никаких внешних воздействий. В состав автоколебательной системы входит источник энергии (в случае механических колебаний – сжатая пружина, поднятый груз и т.д., в случае электрических колебаний – источник тока). Этот источник периодически включается самой системой и вводит в нее определенную энергию, компенсирующую потери на выделение тепла Джоуля-Ленца, что и делает колебания незатухающими.