§ 9.45 Колебательный контур

Неразрывная связь между электрическими и магнитными явлениями заключается в том, что любое изменение электрического поля порождает вихревое магнитное поле, а любое изменение магнитного поля приводит в свою очередь к появлению вихревого электрического поля. По этой причине электрические и магнитные колебания могут существовать только совместно, и такие колебания называют электромагнитными колебаниями. При электромагнитных колебаниях периодически изменяющимися величинами являются параметры электрического и магнитного полей.

Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используют колебательный контур – цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С (см. рисунок 54). Электромагнитные колебания, происходящие в колебательном контуре за счет первоначально сообщенной этому контуру энергии, которая в дальнейшем не пополняется, называют свободными (собственными) электромагнитными колебаниями. Собственные электромагнитные колебания происходят под действием процессов, происходящих в самом колебательном контуре. Если пренебречь сопротивлением проводов катушки индуктивности (R  0), то можно пренебречь потерями на выделение тепла Джоуля-Ленца. Если к тому же не учитывать незначительные потери энергии на излучение электромагнитных волн в окружающее пространство, то мы имеем незатухающие электромагнитные колебания в контуре.

Р ассмотрим превращения энергии в колебательном контуре при свободных незатухающих электромагнитных колебаниях. Предположим, что, разомкнув контур, зарядили конденсатор. Между обкладками конденсатора появляется электрическое поле, которое обладает определенной энергией. Замкнем конденсатор на катушку. В этот момент времени (t = 0) напряженность электрического поля Е₀ между обкладками конденсатора, напряжение U₀ между обкладками и заряд q₀ на обкладках конденсатора максимальны. Тока в контуре еще нет, следовательно, отсутствует и магнитное поле. При этом вся энергия W колебательного контура сосредоточена в виде энергии электрического поля в конденсаторе, т.е. W = .

Когда конденсатор начинает разряжаться, напряжение на нем и напряженность электрического поля между обкладками будут уменьшаться. Из-за возникшего в контуре электрического тока разряда конденсатора в катушке индуктивности появится магнитное поле. При этом согласно правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая мгновенному нарастанию этого тока. Через время, равное четверти периода колебаний (t = ) конденсатор полностью разряжается (U = 0; E = 0), а сила тока I₀ в контуре и индукция магнитного поля В₀ этого тока достигают максимальных значений. В этот момент времени вся энергия контура заключена в виде энергии магнитного поля в катушке индуктивности, т.е. W = .

В интервале времени от до магнитное поле будет уменьшаться. Уменьшающееся магнитное поле вызывает экстраток самоиндукции, который в соответствии с правилом Ленца стремится поддержать ток разряда конденсатора и будет направлен так же, как и ток разряда. Конденсатор начинает перезаряжаться и между его обкладками появится электрическое поле противоположного направления. Это поле стремится ослабить ток, который в момент времени t = обратится в нуль, а заряд q₀ на обкладках конденсатора (соответственно, напряженность электрического поля Е₀ и напряжение U₀) достигает первоначального максимального значения.

В интервале времени от до конденсатор будет снова разряжаться. При этом в контуре возникает ток, направленный противоположно току в предыдущей стадии процесса. В момент времени t = конденсатор полностью разряжается, т.е. напряжение U между его обкладками становится равным нулю (соответственно, q = 0 и Е = 0), а ток I₀ и индукция В₀ магнитного поля достигают максимальных значений. В этот момент вся энергия электрического поля снова превращается в энергию магнитного поля.

В интервале времени от до Т возникшая в катушке индуктивности ЭДС самоиндукции поддерживает убывающий ток и перезаряжает конденсатор, и через промежуток времени, равный периоду колебаний (t = Т), электрическое состояние контура будет таким же, как и в момент t = 0.

После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. При отсутствии энергетических потерь процесс взаимных периодических превращений энергий электрического поля и магнитного поля будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электромагнитные колебания. При этом в контуре периодически изменяются (колеблются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности.

Для получения уравнения колебаний заряда q в контуре вначале положим, что контур обладает активным сопротивлением R. Тогда согласно закону Ома

U_R + U_C = E,

где U_R = IR – напряжение на сопротивлении,

U_C = - напряжение на конденсаторе,

E = - L = - LI_t = - Lq_tt , (I = q_t, I_t = q_tt),

Е – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке.

Итак,

IR + = - Lq,

откуда, поделив все слагаемые на L, имеем:

q + q + q = 0. (45.1)

Поскольку в колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, то рассмотренные электромагнитные колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление контура R = 0, то уравнение (45.1) примет вид:

q + q = 0. (45.2)

или, обозначая ₀ = , получим

q + ₀²q = 0. (45.3)

Уравнение (45.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре, которое, как легко проверить подстановкой, имеет решение:

q(t) = q₀cos(₀t + ), (45.4)

где q₀ – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора, ₀  циклическая частота колебаний (собственная частота контура),   начальная фаза.

Период свободных колебаний в идеальном контуре (т.е. при R = 0) равен:

Т = = 2 . (45.5)

Формула (45.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Частота колебаний

 = = . (45.6)

В выражении (45.4) значения амплитуды колебаний заряда q₀ и начальной фазы  определяют из начальных условий, т.е. значениями силы тока I(0) и заряда q(0) (или напряжения U(0) = q(0)/С) в момент времени t = 0.

Напряжение на обкладках конденсатора равно:

U_C = U(t) = q(t) = cos(₀t + ) = U₀cos(₀t + ), (45.7)

где U₀ =  амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе.

Сравнивая выражения (45.4) (45.7) убеждаемся, что заряд q(t) и напряжение U(t) колеблются в фазе друг с другом.

Сила тока в колебательном контуре равна:

I(t) = I = q_t =  ₀q₀sin(₀t + ) = I₀cos(₀t +  + ), (45.8)

где I₀ = ₀q₀,  амплитуда силы тока.

Сопоставляя выражения (45.4) и (45.8) заключаем, что колебания тока опережает по фазе колебания заряда на , т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд равен нулю, и наоборот.

Уравнения (45.4), (45.7), (45.8) для  = 0 записываются так:

q(t) = q₀cos₀t, U_C(t) = U₀cos₀t, I(t) = I₀cos(₀t + ),

и графики этих зависимостей q(t), U_C(t), I(t) представлены на рисунке 55.

Если в формуле Томсона Т = 2 индуктивность измерять в генри (L = Гн), емкость в фарадах (С = Ф), то период колебаний будет измеряться в секундах (Т = с).

Из закона сохранения энергии следует, что в идеальном контуре (R = 0) максимальные значения энергии электрического и магнитного полей равны, т.е.

, (45.9)

откуда с учетом того, что I₀ = ₀q₀, опять приходим к результату

₀² = . (45.10)

Для произвольного момента времени энергии электрического поля и магнитного поля равны, соответственно:

W_эл(t) = q²(t) = cos²(₀t + ) = =

= (1 + cos(2₀t + 2)), (45.11)

W_м(t) = LI²(t) = LI₀²sin²(₀t + ) = LI₀² =

= LI₀² (1 cos(2₀t + 2)). (45.12)

Из уравнений (45.11) и (45.12) следует, что энергии электрического поля и магнитного поля в контуре изменяются с частотой, в два раза превышающей частоту гармонических электрических колебаний (заряда, силы тока, напряжения) в контуре.

Полная энергия W контура складывается из энергий электрического и магнитного полей и равна максимальному значению энергии электрического или магнитного поля:

W = W_эл(t) + W_м(t) = . (45.13)

Полная энергия W остается постоянной, т. е. неизменной со временем.

Уравнения колебаний энергий электрического поля W_эл(t) и магнитного поля W_м(t), т.е. выражения (45.11) и (45.12), для =0 с учетом соотношения (45.13) для полной энергии W принимают вид:

W_эл(t) = W(1 + cos2₀t), W_м(t) = W(1  cos2₀t),

и графики этих зависимостей W_эл(t) и W_м(t) представлены на рисунке 56.

Как видно из графиков энергии W_эл(t) и W_м(t) совершают гармонические колебания в противофазе по отношению друг другу около равновесного положения W (W – полная энергия контура) с частотой в два раза превышающей частоту гармонических колебаний в контуре.