§ 2.10 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

Рассмотрим связь между векторами и на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых ₁ и ₂) при отсутствии на границе свободных зарядов. Искомые условия получим с помощью теоремы о циркуляции вектора (см. 4.5) и теоремы Остроградского – Гаусса для вектора (см. 9.4):

= = 0, = = =0.

Возьмем небольшой прямоугольный контур сторонами, параллельными границе раздела и такой длины a, чтобы в ее пределах напряженность поля в каждом диэлектрике можно было считать одинаковой, и пренебрежимо малой высотой b. Контур частично проходит в первом диэлектрике, частично – во втором. Ось х проходит через середину стороны b (см. рисунок 15).

Пусть в диэлектриках создано поле, напряженность которого в первом диэлектрике равна , а во втором  . Циркуляция вектора по выбранному нами контуру должна быть равна нулю. При указанном направлении обхода циркуляция вектора может быть представлена в виде

= Е_1ха  Е_2ха + Е_b2b, (9.5)

где Е_b – среднее значение Е_l на перпендикулярных к границе участках контура.

Тогда

(Е_2х  Е_1х) а = Е_b2b.

В пределе при стремящейся к нулю ширине контура b получается равенство

Е_1х =Е_2х . (9.6)

Значения проекций векторов и на ось х берутся в непосредственной близости к границе диэлектриков.

Соотношение (9.6) выполняется при произвольном выборе оси х; нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела диэлектриков. Из (9.6) следует, что при таком выборе оси х, при котором Е_1х = 0, проекция вектора Е_2х также будет равна нулю. Это означает, что векторы и в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каждый из векторов и в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих:

= + ; = + . (9.7)

В соответствии с (9.6)

Е_1 = Е_2 , (9.8)

т.е. тангенциальные составляющие вектора оказываются одинаковыми по обе стороны границы раздела. В (9.8) Е_1 и Е_2  проекции векторов и на единичный вектор , направленный вдоль линии пересечения плоскости раздела диэлектриков с плоскостью, в которой лежат вектора и .

Заменив, согласно (9.1), проекции вектора проекциями вектора , деленными на ₀, получим из (9.8) соотношение

= . (9.9)

Н а границе раздела двух диэлектриков (рисунок 16) построим прямую цилиндрическую поверхность ничтожно малой высоты h, одно основание S₁ которой находится в первом диэлектрике, другое основание S₂ находится во втором. Оба основания одинаковы (S₁ = S₂ = S) и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Применим к этой поверхности теорему Остроградского – Гаусса. Так как на границе между диэлектриками зарядов нет, правая часть в (9.4) равна нулю.

Поток через основание S₁ равен D_1nS, где D_1n  проекция вектора в первом диэлектрике на нормаль . Аналогично поток через основание S₂ равен D_2nS, где D_2n  проекция вектора во втором диэлектрике на нормаль . Поток через боковую поверхность можно представить в виде D_nS_бок, где D_n – значение электрического смещения, усредненное по всей боковой поверхности, S_бок – значение этой поверхности. Таким образом, можно записать

= D_1nS + D_2nS + D_nS_бок = 0. (9.10)

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, S_бок также будет стремиться к нулю. Поэтому в пределе соотношение (9.10) примет вид

D_1n =  D_2n .

Знаки проекций оказались разными вследствие того, что нормали и к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проецировать и на одну и ту же нормаль, получится условие

D_1n = D_2n , (9.11)

т.е. нормальные составляющие вектора оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела двух диэлектриков.

Заменив согласно (9.1) проекции вектора проекциями вектора , умноженными на ₀, получим соотношение

₁₀Е_1n = ₂₀Е_2n ,

из которого следует, что

. (9.12)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора ( ) и нормальная составляющая вектора ( ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора ( ) и тангенциальная составляющая вектора ( ) претерпевают скачок.

Соотношения (9.8), (9.9), (9.11) и (9.12) определяют условия, которым должны удовлетворять векторы и на границе двух диэлектриков в случае, если на этой границе нет сторонних зарядов. Мы получили эти соотношения для электростатического поля. Однако они справедливы и для полей, изменяющихся со временем.

Н айденные нами условия справедливы и для границы раздела диэлектрика с вакуумом. В этом случае одну из диэлектрических проницаемостей нужно положить равной единице.

Из полученных условий для составляющих векторов и на границе раздела двух диэлектриков следует, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, т.е. преломляются. Найдем соотношение между углами преломления ₁ и ₂ (см. рисунок 17):

,

откуда с учетом (9.9) и (9.11) получается закон преломления линий вектора электрического смещения :

. (9.13)

При входе в диэлектрик с большей  линии удаляются от нормали, и, наоборот, при входе в диэлектрик с меньшей  угол, образуемый линиями с нормалью, уменьшается.

Закон преломления силовых линий (линий ) в изотропных диэлектриках, очевидно, такой же, как и закон преломления линий смещения , так как в каждом из диэлектриков направления векторов и совпадают. Однако картины линий смещения и силовых линий будут все же различны. Различие заключается в том, что линии смещения непрерывны, в то время как часть силовых линий прерывается на границе раздела (см. § 2.8).