7

Лекция 4

Системы счисления

Система счисления (СС) – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами.

Любая система счисления, предназначенная для практического применения, должна обеспечивать:

1. возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин,

2. единственность представления, т.е. каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина,

3. простоту оперирования числами.

Системы счисления делятся на:

1. непозиционные – это системы счисления, в которых значение символа не зависит от его положения в числе. Примеры: римская, палочковая, славянская, сирийская, египетская, вавилонская.

Способ представления непозиционной системы счисления в общем виде:

A_D – запись числа A в системе счисления D.

D_i – символы системы, образующие её базу.

2. позиционные – системы счисления, удовлетворяющая уравнению:

q – основание системы СС;

A_q – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q;

a_i – цифра (символ) системы счисления с основанием q;

n-1, m – количество целых и дробных разрядов в числе.

Сокращённый вариант:

4	3	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	=
1	2	5	7	3,	1	3	0	2	8	9	1

=1*10⁴+2*10³+5*10²+7*10¹+3*10⁰+1*10^-1++3*10^-2+2*10^-4+8*10^-5+9*10^-6+1*10^-7.

Для естественной позиционной СС q – основание системы (положительное целое число).

В позиционной системе счисления значение цифры определяется её положением в числе: один и тот же знак принимает различные значения.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) q естественной позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе. Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, т.к. приняв за основание любое число, можно образовать новую систему счисления.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления – это интервал числовой оси, заключённый между максимальными и минимальными числами, представленный длиной разрядной сетки.

Выбор оптимальной системы счисления

Правильный выбор системы счисления – это важный практический вопрос, так как от его решения зависят такие технические характеристики программируемой ЭВМ, как скорость вычислений, объём памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. При выборе системы счисления для ЭВМ необходимо учитывать:

1) Основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для изображения разрядов числа.

2) Длина числа существенно зависит от основания системы счисления.

3) Система счисления должна обеспечивать простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.

Введём C – показатель экономичности системы (для определения, рационально ли использование двоичной системы счисления). Если принять, что каждый разряд числа представлен не одним элементом, а q элементами, каждый из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет условное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе.

, где N – количество разрядов.

=> .

П редставим, что величина q принимает любые значения (целочисленные и дробные), то есть является непрерывной величиной. Для сравнения двух систем счисления можно ввести относительный показатель экономичности, позволяющий сравнивать любую ОС с двоичной.

q	2	3	4	6	8	10
F	1,000	0,946	1,000	1,148	1,333	1,505

Рис. Выбор основания системы счисления

Более экономичной является система с основанием e. Используя этот график, можно показать, что троичная система счисления более экономичная, чем двоичная.

В подавляющем большинстве ЭВМ используют двоичную систему счисления, однако для ЭВМ это связано с преодолением дополнительных трудностей, возникающих при переводе входной информации в двоичную систему счисления и двоичной информации в выходную.