1. Средние величины

Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Все виды средних делятся на:

• степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

• структурные (позиционные) средние (мода и медиана) – применяются для изучения структуры рядов распределения.

1.1 Средние степенные величины

Средняя степенная (при различной величине k) определяется:

(1.1).

Таблица 1.1 - Виды средних степенных величин

k	Наименование средней	Формула средней	Когда используется
1	Средняя арифметическая простая (невзвешенная)	(1.2) где xi – i-й вариант осредняемого признака ( ); n – число вариант	Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным
1	Средняя арифметическая взвешенная	(1.3), где fi – частота повторяемости i-го варианта	Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок
-1	Средняя гармоническая взвешенная	(1.4), где .	Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов
-1	Средняя гармоническая невзвешенная	(1.5)	Используется в случае, когда веса равны
0	Средняя геометрическая невзвешенная	(1.6)	Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста
0	Средняя геометрическая взвешенная	(1.7)
2	Средняя квадратическая невзвешенная	(1.8)	Используется при расчете показателей вариации
2	Средняя квадратическая взвешенная	(1.9)

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Правило мажорантности средних: с ростом показателя степени значения средних возрастают.

(1.10)

Средняя прогрессивная – средняя для “лучших” значений признака.

Свойства средней арифметической

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.

2. Если все варианты x_i увеличить (уменьшить) на одно и тоже число c, увеличится (уменьшится) на то же число.

. (1.11)

3. Если все варианты x_i увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз k, увеличится (уменьшится) в то же число раз.

. (1.12)

4. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна 0.

. (1.13)

По свойству 2 при : .

5. Средняя арифметическая алгебраической суммы признаков равна такой же сумме средней арифметической этих признаков.

. (1.14)

6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы группы.

, (1.15)

где – средняя арифметическая группы i;

N – общий объем ряда ( );

n_i – объем группы i ( ).

. (1.16)