Задача 1.8.

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁, М₂, М₃ штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно . Рабочий берёт случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен первым заводом – изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

Задание № 2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для вашего варианта.

2. Определить исходные данные и результаты.

3. Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи калькулятора и таблиц.

4. Построить требуемые графики.

Задача 2.1.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно G раз;

б) больше чем L раз;

в) меньше чем М и больше чем F раз;

г) меньше чем R раз.

Значения параметров n, p, G, L, M, F и R вычислить по следующим формулам:

Пример 7. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р=0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 220 раз;

б) больше чем 190 раз;

в) меньше чем 240 и больше чем 180раз;

г) меньше чем 235раз.

Решение. а) используем локальную теорему Лапласа:

Значения функции находим из таблицы приложения 5, при этом нужно учитывать, что .

Задано: n=500, p=0,4, q=0,6, k=220. Находим:

б) используем интегральную теорему Лапласа:

Значения функции находим из таблицы приложения 4, при этом нужно учитывать, что и =0,5 для всех х >5.

Задано: Находим:

в) и г) решаются аналогично:

Задача 2.2.

На телефонной станции неправильное соединения происходит с вероятностью р. Найти вероятность того, что из n соединений произойдет:

а) точно G неправильных соединений;

б) меньше, чем L неправильных соединений;

в) больше, чем М неправильных соединений.

Значение параметров р, n, G, L и M вычислить по следующим формулам:

Пример 8. На телефонной станции неправильное соединения происходит с вероятностью р=0,005. Найти вероятность того, что из 200 соединений произойдет:

а) точно 1 неправильное соединение;

б) меньше, чем 3 неправильных соединений;

в) больше, чем 2 неправильных соединений.

Решение. Так как число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала, то используем формулу Пуассона:

Задано: n=200, p=0,005, =1.

Задача 2.3.

В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что относительная частота этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не больше, чем на ε > 0.

Значения параметров n, p, ε вычислить по следующим формулам

.

Указание: воспользоваться формулой .

Задача 2.4.

Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Построить графики функций f(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Вычислить математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Решение. Функцию F(x) находим по формуле: . Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х определяются соответственно равенствами: .

Находим:

Задача 2.5.

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти функцию плотности вероятности f(х) случайной величины Х и построить графики функций f(х) и F(х). Вычислить для случайной величины Х её математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).

Указание: найти .

Задача 2.6.

Случайная величина Х распределена нормально. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале (а, b);

б) меньшее К;

в) большее L.

Значения параметров m, σ , a, b, K, L вычислить по формулам:

Указание . Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), находим по формуле

(приложение 4).

Контрольная домашняя работа. Теория вероятностей.

Вариант 1

1. По движущейся цели производится три выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна соответственно 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получить: а) три промаха; б) хотя бы одно попадание.

2. Торпедный катер атакует корабль противника, выпуская по нему одну торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть корабля равна 0,2, в среднюю - 0,3, в кормовую – 0,15. Вероятность потопления корабля при попадании в носовую часть равна 0,45, в среднюю - 0,9, в кормовую – 0,5. Определить вероятность потопления корабля противника.

3. Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее трех раз.

4. В урне 4 шара с номерами 1,2,3,4. Вынули 2 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – суммы номеров шаров.

5. Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.