Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа

В качестве примера решения рассмотрим решение двумерного уравнения Лапласа, определяющее установившийся режим теплопроводности через двумерное тело

. Для упрощения рассмотрим границу в виде квадрата со стороной L. Имеется три различных варианта задания граничных условий:

1. ,

где f_i и g_i – некоторые функции. В данной постановке задача решения дифференциального уравнения носит название задача Дирихле.

2. ,

В данной постановке задача решения дифференциального уравнения носит название задача Неймана.

3. - смешанный тип условия.

После постановки задачи с одним из граничных условий строится сетка (шаг сетки выбирается из физических соображений и необходимой точностью решения) и выбирается система уравнений аппроксимирующих дифференциальное уравнение и граничные условия.

Для уравнения Лапласа существует множество различных конечно-разностных аппроксимаций. Наиболее простым и распространенным является следующий шаблон вычислений

В виде уравнения шаблон может быть записан как

.

Таким образом Задача Дирихле может быть сформулирована в виде системы уравнений

Значения определяются граничными условиями (вычисляются через функции f_i и g_i).

На следующем этапе выбирается наиболее рациональный алгоритм решения системы и производится численный расчет.

В случае уравнения Лапласа решение может быть получено методом итераций, по следующей схеме

Возможно применение как метода простых итераций, так и метода Зейделя. Расчет ведут до тех пор пока разность между двумя последовательными итерациями (максимальное значение - ) не станет меньше требуемой точности. При соблюдении условия сходимости выбор начального приближения роли не играет и определяет только число шагов итерации. Наиболее распространенным способом задания начального приближения является интерполяция граничных условия на внутреннюю область сетки (выполняется либо по строкам, либо по столбцам).