Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных встречаются во многих областях физики. Наибольшее практическое значение имеет случай, когда неизвестная функция зависит от двух аргументов и содержит производные до второго порядка включительно. Уравнения такого вида, как правило, не имеют явного решения, поэтому развитие получили методы численного решения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Z, зависящей от двух переменных x и y:

.

В зависимости от соотношения между коэффициентами A, B и C различают три вида уравнений:

- уравнение эллиптического типа,

- уравнение параболического типа,

- уравнение гиперболического типа.

Наиболее распространенными уравнениями каждого типа являются:

уравнение Пуассона (эллиптический тип) ;

уравнение теплопроводности (параболический тип) ;

волновое уравнение (гиперболический тип) .

В зависимости от типа уравнения по-разному формулируются начальные и граничные условия. Тип уравнения может меняться от точки к точке. Если A, B и C являются постоянными величинами, говорят о полностью эллиптическом, параболическом и гиперболическом уравнении.

Численное решение дифференциального уравнения в частных производных методом сеток подразумевает, что вместо точного аналитического выражения для функции Z будут найдены ее значения при некоторых значениях аргументов x и у (ищутся значения функции на некоторой сетке значений аргументов). При этом само дифференциальное уравнение заменяется разностной схемой, аппроксимирующей его с некоторой степенью точности (построение сетки аргументов и конечно-разностной схемы отличаются друг от друга в зависимости от типа дифференциального уравнения). При решении рекомендуется придерживаться следующего порядка действий:

1. Выбрать правило построения сетки, т.е. указать каким образом область определения функции и ее граничный контур заменяются сеткой аргументов (при возможности сетку выбирают равномерной и прямоугольной).

2. Строится одна или несколько разностных схем (желательно для каждой схемы знать порядок аппроксимации).

3. Проверяется устойчивость разностных схем.

4. Выбираются оптимальные алгоритмы решения разностных схем.

Построение разностных схем

Построение разностной схемы сводится к замене дифференциального оператора каким-либо конечно-разностным соотношением. Для каждого дифференциального оператора возможно несколько вариантов замены. Каждый из вариантов определяет вид аппроксимирующего уравнения, порядок аппроксимации и алгоритм решения уравнения.

Пример: производная функции может быть заменена несколькими вариантами конечно-разностных отношений

.

Для визуализации и лучшего запоминания каждой аппроксимирующей схеме сопоставляется ее графическое изображение, получившее название вычислительный шаблон. Так представленным в примере схемам соответствуют шаблоны

Ниже приведены основные вычислительные шаблоны и указана их точность аппроксимации:

Использование шаблонов с высокой степенью аппроксимации повышает точность решения, но обычно усложняет алгоритм решения и требует большого объема (времени) машинных вычислений.