Дифференциальные уравнения

Обыкновенные (функция зависит от одного аргумента)

ПР:

.

В частных производных (функция зависит от нескольких аргументов)

ПР:

ОДУ

Обыкновенное дифференциальное уранение n-го порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или дифференциалы) до n-го порядка включительно и может быть записано в виде . Дифференциальное уранение n-го порядка разрешенное относительно старшей производной может быть записано в виде .

Задача Коши

Зада́ча Коши́ — состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям (задаются значения функции и ее производных до порядка n-1 при некотором значении x=x₀ независимой переменной).

.

Методы точного интегрирования возможны только для сравнительно небольшой части прикладных задач. Чаще применяют методы приближенного решения, которые можно разделить на аналитические и численные. Ниже приведена неполная схема приближенных методов решения задачи Коши.

Методы приближенного решения задачи Коши

Аналитические

Численные

Пикара

Интегрирования с помощью степенных рядов

Эйлера

Рунге-Кутты

Адамса

Метод Пикара (метод последовательных приближений)

Пусть задано уравнение

, (1)

где функция f(x,y) непрерывна в некоторой области и имеет непрерывную частную производную по y. Требуется найти решение удовлетворяющее условию . Интегрируя (1) по x от x₀ до x, получим

. (2) Метод Пикара заключается в организации итерационного процесса поиска решения на основе уравнения (2). В качестве начального приближения используется значение y₀.

.

Метод Пикара хорошо реализуется в компьютерных системах символьной математики (Maple, Maxima).

Пример: Решить методом Пикара уравнение с начальными условиями x₀=0, y₀=0.

Интегрирование уравнения дает , или с учетом начальных условий . Строим итерационную последовательность

,

,

, и т.д.

Интегрирование с помощью степенных рядов

Пусть дано дифференциальное уравнение

, (1) с начальными условиями

. (2)

Решение уравнения (1) можно представить в виде ряда Тейлора в окрестности точки x₀

(3)

Для нахождения коэффициентов ряда уравнение (1) дифференцируют необходимое число раз, используя условие (2).

Пример: Решить с помощью метода степенных рядов уравнение с начальными условиями x₀=0, y₀=0.

Удержим в разложении слагаемые вплоть до третьей степени. Получим формулы для рассчета коэффициентов:

.

Численные значения коэффициентов . Соответственно

. (4)

Полученное решение совпадает с результатом второй итерации полученным по методу Пикара.

Разложение в ряд Тейлора удобно для небольшой области вблизи начальных значений и часто используется как вспомогательное для численных методов решения.

Численные методы решения задачи Коши

Решить дифференциальное уравнение численным методом - это означает не определяя саму функцию y(x), найти ее значения для заданной последовательности аргументов x₀, x₁, …, x_n. Таким образом, при численном решении вместо самой функции y(x) получают таблицу ее значений для заданной последовательности аргументов. Решение строится таким образом, что бы выполнялись начальные условия.