6.4. Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р наступления события А постоянна, то при неограниченном увеличении числа испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что частость наступления события отклоняется от вероятности р по абсолютной величине не более, чем на сколь угодно малую положительную величину, то есть

.

Доказательство. Обозначим через Х₁ дискретную случайную величину число появлений события А в первом испытании; через Х₂ - во втором испытании; ... через Х_n - в n-м испытании. Так как событие А в каждом испытании может произойти либо не произойти, то каждая случайная величина Х_i принимает лишь два значения 1 и 0 с соответствующими вероятностями р и

Основные характеристики этих случайных величин равны:

Случайные величины Х_i удовлетворяют всем условиям теоремы Чебышева. Они независимы, так как испытания, при которых наступает событие А, независимы, имеют равные математические ожидания , а дисперсии их равны , то есть они ограничены числом (произведение двух сомножителей, сумма которых постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей, в данном случае , так при ).

Применяя частный случай теоремы Чебышева , будем иметь , .

Теорема доказана.

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота наступления события А или статистическая вероятность этого события по вероятности стремится к вероятности р, то есть

.

Таким образом, из теоремы Бернулли следует, что относительная частота наступления события А обладает свойством устойчивости.

6.5. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)

Рассмотренные выше теоремы являются одной из форм закона больших чисел. Эти теоремы утверждают о приближении некоторых случайных величин к определенным предельным значениям независимо от их распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, относящихся к предельным законам распределения суммы случайных величин. Эта группа теорем носит общее название центральной предельной теоремы. Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Так, если независимые случайные величины не распределены по нормальному закону, то можно наложить на них некоторые ограничения и их сумма будет иметь нормальное распределение. Эту задачу поставили и решили в основном русские ученые (П.Л. Чебышев и его ученики А.А. Марков и А.М. Ляпунов).

Теорема Ляпунова

Распределение суммы независимых случайных величин приближается к нормальному распределению при неограниченном увеличении числа случайных величин, если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии;

2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных.

Примечание. Фактически приведена не теорема Ляпунова, а одно из ее следствий, которого достаточно для практического применения.

Теорема Ляпунова дает объяснение тому факту, что случайные величины с нормальным законом распределения часто встречаются в природе и в общественной жизни. При некоторых ограничениях совокупное влияние многих случайных факторов приводит к нормальному закону распределения. В частности, случайные ошибки измерений имеют нормальный закон распределения. Этому закону распределения подчиняется и подавляющее большинство технологических показателей при массовом производстве.

Центральную предельную теорему можно считать дальнейшим уточнением стохастического характера изменения средней арифметической ряда случайных величин.