Глава 6 предельные теоремы теории вероятностей

Как известно, результаты отдельных наблюдений (экономических, демографических, физических и др.), хотя и проведенных в относительно однородных условиях, существенно отличаются друг от друга.

В то же время средние из большого числа наблюдений обнаруживают значительную устойчивость, причем с увеличением числа наблюдений устойчивость усиливается, то есть средние характеристики при некоторых достаточно широких условиях с увеличением числа испытаний теряют характер случайного.

Условия, при которых проявляется такая закономерность, рассматриваются в ряде теорем, известных как предельные теоремы теории вероятностей. Эти теоремы по смыслу делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая - центральной предельной теоремы.

К закону больших чисел относят, в основном, следующие теоремы: лемма Маркова (неравенство Маркова), неравенство Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то закон, связанный с большими числами. Это обобщенное название указанных предельных теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний при соблюдении определенных условий средние величины стремятся к некоторым постоянным значениям.

Впервые сформулировал и доказал одну из теорем закона больших чисел швейцарский математик Яков Бернулли (1654 - 1705). Теорема Бернулли - простейшая форма закона больших чисел, которая устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой.

Выдающийся французский математик Симеон Дени Пуассон (1781 - 1840) обобщил теорему Бернулли, распространив ее на случай, когда вероятность события в независимых испытаниях изменяется. Он же впервые ввел термин "закон больших чисел".

Великий русский математик П.Л. Чебышев (1821 - 1894) доказал, что закон больших чисел действует в явлениях с любой вариацией и распространяется также на среднюю величину.

Дальнейшее обобщение теорем закона больших чисел связано с именами русских ученых А.А. Маркова, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова.

6.1. Лемма Маркова (неравенство Маркова)

Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание, то вероятность того, что она примет одно какое-нибудь значение, не превосходящее некоторого положительного числа , больше разности между единицей и отношением математического ожидания этой случайной величины к данному числу  , то есть

.

Доказательство. Докажем это утверждение для дискретной случайной величины Х. Допустим, что Х может принимать одно из n различных значений с соответствующими вероятностями .

Предположим, что каждое из первых k значений не превосходит , то есть , а все остальные значения больше , то есть .

Найдем математическое ожидание случайной величины Х

.

"Урежем" правую часть этого равенства, отбросив первые k неотрицательных слагаемых. В результате можно записать:

.

Теперь каждый из множителей левой части полученного неравенства заменим числом  (по условию число  меньше каждого из этих множителей ). Очевидно, что от этой замены неравенство только усилится, и мы получим

,

или .

Отсюда .

С другой стороны, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна единице, то есть

.

Откуда согласно последнему неравенству можно записать:

,

или .

В результате получим следующее неравенство:

,

откуда .

Теперь рассмотрим подробнее сумму вероятностей в левой части записанного неравенства

.

Очевидно, что события являются несовместными. Поэтому, применив теорему сложения вероятностей для несовместных событий, можно записать следующее:

Нетрудно заметить, что в итоге мы получим вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее числа  (ибо все значения ), то есть

.

Поэтому окончательно получим , что и требовалось доказать.

Лемма доказана для дискретной случайной величины. Можно показать, что она будет справедлива и для непрерывной случайной величины.

Следует отметить, что лемма Маркова справедлива для любого распределения неотрицательной случайной величины.

Неравенство называют неравенством Маркова. Полагая в этом неравенстве , получим следующее неравенство:

.

Замечание. Так как события и противоположные, то, заменяя выражением , получаем другую форму неравенства Маркова:

.

Пример 39. Случайная величина Х задана следующим распределением:

xi	0	1	3	6	8	9
pi	0,05	0,1	0,25	0,45	0,1	0,05

Оценить вероятность того, что эта случайная величина примет значение: 1) не превосходящее 6; 2) больше 8?

Решение. 1) Из таблицы видно, что данная случайная величина принимает неотрицательные значения. Следовательно, можно применить неравенство Маркова для оценки вероятности:

.

Найдем математическое ожидание:

.

По условию  = 6. Следовательно, , то есть .

Заметим, что вероятность может быть вычислена непосредственно по заданному закону распределения. Действительно, Таким образом, , что и было получено с помощью неравенства Маркова.

2) Воспользуемся второй формой неравенства Маркова, то есть

.

Так как и по условию , то , или . Непосредственный подсчет вероятности дает следующий результат: .

Пример 40. Случайная величина Х имеет -распределение с числом степеней свободы k =5. Оценить вероятность того, что эта случайная величина примет значение, не превосходящее .

Решение. По условию задачи случайная величина Х имеет -распределение с числовыми характеристиками и . Тогда . Из определения -распределения следует, что случайная величина Х может принимать лишь неотрицательные значения, следовательно, можно применить неравенство Маркова для оценки вероятности .

В данном случае и . Поэтому

или .

Пример 41. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составила 2000000 р., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 р., равна 0,8. Каково общее число вкладчиков данного банка?

Решение. Из условия известно, что . Вклад в сберегательный банк есть случайная величина Х, принимающая только положительные значения. Следовательно, можно применить неравенство Маркова:

.

Тогда , или .

Найдем - средний вклад одного вкладчика. Обозначим через n число всех вкладчиков. Тогда средний вклад одного вкладчика

.

Подставим в последнее неравенство, получим

.

Отсюда , или .

Таким образом, число вкладчиков данного банка менее 1000 чел.